对于一阶线性微分方程\[y’+p(x)y=f(x)\]来说，一般教材采用常数变易来导出解的公式。事实上，我们也可以使用积分因子法来求解这类方程。
积分因子法的基本思想就是，将方程乘以 一个函数，将方程的右边变成一个函数的导数，然后两边积分，就可以求出未知函数了。
对于 一阶线性微分方程来说，积分因子是比较好找的，因为含有未知函数的就只有两项，导数含有两项的就是两个函数的乘积了。
我们假设方程有一个积分因子\(\mu(x)\)，我们现在将它找出来。将它乘以方程两边，我们得到
\[\mu(x)y’+\mu(x)p(x)y=\mu(x)f(x)\]
因为第一项是 \(\mu(x)y’\)，所以右边只能是 \((\mu(x)y)’\)，利用乘积求导法则，我们知道 \(\mu(x)p(x)=\mu'(x)\)，利用分离变量法，可以求出它的一个解
\[\mu(x)=e^{\int p(x)dx}\]
也就是说，这个积分因子是\( e^{\int p(x)dx}\)，将它乘以方程两边，我们得到
\[( e^{\int p(x)dx} y)’= e^{\int p(x)dx} f(x)\]
两边积分 ，我们得到
\[ e^{\int p(x)dx} y =\int e^{\int p(x)dx} f(x) +C \]
再将两边乘以 \( e^{-\int p(x)dx} \)，就得到了方程的解
\[ y = e^{-\int p(x)dx} \left(\int e^{\int p(x)dx} f(x) +C\right) \]
这个公式 ，与我们用常数变易法求得的公式是一致的。
发表回复