如何求一个向量组的极大无关组，以及如何用极大无关组线性表示其它向量？

我们求向量的极大无关组，并且把其它向量用极大无关组表示的方法和步骤是：

• 首先将所有列向量排成一个矩阵（如果是行向量， 先转置成列向量）；
• 将所得到的矩阵作初等行变换，化成行最简矩阵；
• 每个非零行的第一个非零元（\(1\)）所在的列，所对应原矩阵的列向量，就是极大无关组的向量，所有这些向量组成了极大无关组；
• 行最简矩阵的列向量之间的关系，与原矩阵的列向量组之间的关系是一样的。也就是说，极大无关组与其它向量的关系，与行最简矩阵里列向量的关系一样。

这里我们说明一下：极大无关组可以有不同的选择，但是我们这里的选择方式比较直观，不容易出错，而且向量之间的关系一目了然，最容易计算，易于操作。

现在我们举例说明如何使用这种方法。

例：设有向量组

\[\vec{a}_1=\begin{pmatrix}1\\1\\-2\\4\end{pmatrix},\quad \vec{a}_2=\begin{pmatrix}-2\\-1\\0\\1\end{pmatrix},\quad \vec{a}_3=\begin{pmatrix}9\\6\\-6\\9\end{pmatrix},\quad \vec{a}_4=\begin{pmatrix}5\\5\\1\\1\end{pmatrix},\quad \vec{a}_5=\begin{pmatrix}4\\-3\\-2\\-9\end{pmatrix}\]

求该向量组的一个极大无关组，并把其它向量用极大无关组表示。

解：我们先把向量组排成一个矩阵

\[A=( \vec{a}_1 \quad \vec{a}_2 \quad \vec{a}_3 \quad \vec{a}_4 \quad \vec{a}_5 )=\begin{pmatrix} 1&-2&9&5&4\\ 1&-1&6&5&-3\\ -2&0&-6&1&-2\\ 4&1&9&1&9 \end{pmatrix}\]

对此矩阵作初等变换，将矩阵化成行最简矩阵 （省去中间步骤） ，我们有

\[\begin{align*}A=\begin{pmatrix} 1&-2&9&5&4\\ 1&-1&6&5&-3\\ -2&0&-6&1&-2\\ 4&1&9&1&9 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1&0&3&0&0\\ 0&1&-3&0&-7\\ 0&0&0&1&-2\\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix} \end{align*}\]

我们看到，非零行是一、二、三行，第一行第一个非零元在第一列，它对应 \(\vec{a}_1\)，第二行的第一个非零元在第二列，它对应 (\vec{a}_2\)，第三行的第一个非零元在第四列，它对应 (\vec{a}_4\)，所以原向量组的一个极大无关组为

\[ \vec{a}_1=\begin{pmatrix}1\\1\\-2\\4\end{pmatrix},\quad \vec{a}_2=\begin{pmatrix}-2\\-1\\0\\1\end{pmatrix},\quad \vec{a}_4=\begin{pmatrix}5\\5\\1\\1\end{pmatrix} \]

现在我们将 \( \vec{a}_3 , \vec{a}_5\) 用极大无关组表示。因为在行最简矩阵里，第三列与第一、二、四列的关系为

\[\begin{pmatrix}3\\-3\\0\\0\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}-3 \begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix} \]

所以

\[\vec{a}_3=3\vec{a}_1-3\vec{a}_2,\quad \text{即} \begin{pmatrix}9\\6\\-6\\9\end{pmatrix} =3 \begin{pmatrix}1\\1\\-2\\4\end{pmatrix} -3 \begin{pmatrix}-2\\-1\\0\\1\end{pmatrix} \]

再从行最简矩阵第五列与第一、二、四列的关系

\[\begin{pmatrix}14\\-7\\-2\\0\end{pmatrix}=-7 \begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix} -2 \begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix} \]

知道

\[\vec{a}_5=-7\vec{a}_2-2\vec{a}_4,\quad \text{即} \begin{pmatrix}4\\-3\\-2\\-9\end{pmatrix} =-7 \begin{pmatrix}-2\\-1\\0\\1\end{pmatrix}-2 \begin{pmatrix}5\\5\\1\\1\end{pmatrix} \]

可以验算一下，这两个表示式是正确的。