当旋转轴不是坐标轴时，如何求旋转体的体积？

我们知道，$y=f(x),a\le x\le b$ 绕 $x$ 轴旋转时，我们用切片法（参见切片法求旋转体的体积）求得它的体积为

$$V={\int }_a^b\pi f^2(x)dx$$

当它绕 $y$ 轴旋转时，我们用圆桶法（参见圆桶法求旋转体的体积）求得它的体积为

$$V={\int }_a^{b}2\pi xf(x)dx$$

同样的分析，我们可以求得 $x=g(y),c\le y\le d$ 分别绕 $x$ 轴和 $y$ 轴旋转时的旋转体体积

$$V_x={\int }_c^{d}2\pi yg(y)dy,V_y={\int }_c^d\pi g^2(y)dy$$

那么，如果旋转轴不是坐标轴，那旋转体的体积怎么算呢？我们可以同样用切片法或者圆桶法来求得它们的体积。我们用例子来说明这些方法。

例1，求由曲线 $y=x,y=\sqrt{x}$ 所围成的图形分别绕 $y=-1$ 和 $x=-1$ 旋转所得的旋转体的体积。

解：我们先求绕 $y=-1$ 旋转的旋转体的体积。我们可以用外层的曲线旋转围出来的体积减去内层曲线旋转围出来的体积。对任何 $0\le x\le 1$，外层曲线旋转的截面的半径为 $y-(-1)=x+1$， 内层曲线旋转的截面的半径为 $y-(-1)=\sqrt{x}+1$，所以由切片法， 我们得到旋转面的面积为

$$V_x=\pi {\int }_0^1[(x+1{)}^2-(\sqrt{x}+1{)}^2]dx$$

现在我们用圆桶法求绕 $x=-1$ 旋转所得的体积。我们还是用外层曲线绕出来的体积减去内层曲线绕出来的体积。对任何 $0\le x\le 1$, 圆桶的内径为 $x-(-1)=x+1$，外径为 $x+\mathrm{\Delta }x-(-1)=x+1+\mathrm{\Delta }x$，高为 $x-\sqrt{x}$ （上曲线减下曲线）所以圆桶壁的体积近似为

$$\pi (x+1+\mathrm{\Delta }x{)}^2(x-\sqrt{x})-\pi (x+1{)}^2(x-\sqrt{x})=2\pi (x+1)(x-\sqrt{x})\mathrm{\Delta }x+\pi {\mathrm{\Delta }}^{2}x(x-\sqrt{x})$$

略去高阶无穷小，圆桶壁的体积近似于

$$2\pi (x+1)(x-\sqrt{x})\mathrm{\Delta }x$$

求和之后再求极限，就是定积分

$$V_y={\int }_0^{1}2\pi (x+1)(x-\sqrt{x})dx$$