如果一阶微分方程组的系数都是常数，那么微分方程组可以写成矩阵的形式
\[{\bf x}’=A{\bf x}\]
对于这样的微分方程组，它的解可以分为三种情况。
- 如果矩阵 \(A\) 有相异的特征值 \(\lambda_1, \lambda_2,\cdots,\lambda_n\)， 其对应的特征向量为 \({\bf \xi}_1,{\bf \xi}_2,\cdots, {\bf \xi}_n \)，那么它的通解为\[{\bf x}=c_1{\bf \xi}_1e^{\lambda_1t}+c_2{\bf \xi}_2e^{\lambda_2t}+\cdots+c_1{\bf \xi}_ne^{\lambda_nt}\]
- 如果矩阵 \(A\) 有一对复特征值 \(\alpha\pm i\beta\)，其对应的特征向量为 \({\bf a}\pm i{b}\)，那么微分方程的通解中含有项\[c_1e^{\alpha t}({\bf a}\cos \beta t-{\bf b}\sin \beta t)+c_2e^{\alpha t}({\bf a}\sin \beta t+{\bf b}\cos\beta t)\]
- 如果矩阵 \(A\) 有\(k\)重特征值 \(\lambda\)，那么情况比较复杂，我们只处理二重根的情况
- \(\lambda\) 有两个线性无关的特征向量 \(\xi_1,\xi_2\)，那么跟第一种情况类似，方程的通解中含有项 \[c_1e^{\lambda t}\xi_1+c_2e^{\lambda t}\xi_2\]
- 如果对应 \(\lambda\) 的特征向量只有一个 \(\xi\)，则通过解方程组 \((A-\lambda I)\eta=\xi\) 得到向量 \(\eta\)，则方程的通解中含有\[C_1e^{\lambda t}\xi+c_2e^{\lambda t}(t\xi+\eta)\]
我们用两个方程的方程组的例子来说明这些结论。
例1， 求微分方程组
\[{\bf x}’=\begin{pmatrix}1&1\\ 4& 1\end{pmatrix}{\bf x}\]
解：因为 \[|A-\lambda I| =\begin{vmatrix}1-\lambda& 1\\ 4& 1-\lambda\end{vmatrix}=(1-\lambda)^2-4=\lambda^2-2\lambda-3=(\lambda-3)(\lambda+1)\]
所以特征值为 \(\lambda_1=3, \lambda_2=-1\)。
当 \(\lambda_1=3\) 时，
\[A-\lambda I =\begin{pmatrix} -2& 1\\ 4& -2\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}-2&1\\ 0& 0\end{pmatrix}\]
所以我们得到特征向量为 \(\xi_1=\begin{pmatrix} 1\\ 2\end{pmatrix}\)。
当 \(\lambda_2=-1\) 时，可以得到特征向量为 \(\xi_2=\begin{pmatrix} 1\\ -2\end{pmatrix}\)。
所以方程组的通解为
\[{\bf x}=c_1e^{3t}\begin{pmatrix} 1\\ 2\end{pmatrix}+c_2e^{-t}\begin{pmatrix} 1\\ -2\end{pmatrix}. \]
例2，解方程组
\[{\bf x}’=\begin{pmatrix}3&-2\\ 4&-1\end{pmatrix}{\bf x}\]
解：我们先求特征值
\[|A-\lambda I|=\begin{pmatrix}3-\lambda& -2\\ 4& -1-\lambda\end{pmatrix}=(3-\lambda)(-1-\lambda)+8=\lambda^2-2\lambda+5\]
所以我们得到特征值为 \(\lambda_{1,2}=1\pm2 i\)，将\(\lambda_{1}=1+2 i\) 代入 \(A-\lambda I\)， 我们得到
\[A-\lambda I=\begin{pmatrix}2-2i& -2\\ 4& -2-2i\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1-i& -1\\ 0&0\end{pmatrix}\]
从而我们得到其中一个特征向量为 \(\begin{pmatrix}1\\ 1-i\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}+i\begin{pmatrix}0\\ -1\end{pmatrix}\)。所以方程的通解为
\[\begin{align}{\bf x}&=c_1e^{t}\left(\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}\cos 2t-\begin{pmatrix}0\\ -1\end{pmatrix}\sin 2t\right)+c_2e^{t}\left(\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}\sin 2t+\begin{pmatrix}0\\ -1\end{pmatrix}\cos 2t\right)\\ &= c_1e^{t}\begin{pmatrix}\cos 2t\\ \cos 2t+\sin 2t\end{pmatrix}+c_2e^{t}\begin{pmatrix}\sin 2t\\ \sin 2t-\cos 2t\end{pmatrix}\end{align}\]
例3，解方程组
\[{\bf x}’=\begin{pmatrix}3&-4\\ 1& -1\end{pmatrix}{\bf x}\]
解：先求矩阵的特征值
\[|A-\lambda I|=\begin{vmatrix}3-\lambda& -4\\ 1& -1-\lambda\end{vmatrix}=\lambda^2-2\lambda+1=(\lambda-1)^2.\]
所以我们得到二重特征值 \(\lambda_{1,2}=1\)。我们再来求特征向量，
\[A-\lambda I=\begin{pmatrix}2&-4\\ 1&-2\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&-2\\ 0&0\end{pmatrix}.\]
从而我们只能得到一个特征向量 \(\xi=\begin{pmatrix}2\\ 1\end{pmatrix}\)。所以方程组的一个线性无关的解为 \(e^t\begin{pmatrix}2\\ 1\end{pmatrix}\)，为要求得另一个解，我们解线性方程组 \[(A-\lambda I) \eta=\xi,\] 也就是求解
\[\begin{pmatrix}2&-4\\ 1&-2\end{pmatrix}\eta=\begin{pmatrix}2\\ 1\end{pmatrix}\]
这个方程组的一个解为 \(\eta=\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}\)，所以我们可以得到微分方程组的通解为
\[{\bf x}=C_1e^t\xi+C_2e^t(t\xi+\eta)=C_1e^t\begin{pmatrix}2\\ 1\end{pmatrix}+C_2e^t\begin{pmatrix}2t+1\\ t\end{pmatrix}\]
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