如何求分布函数或者密度函数里的未知常数？

我们常常碰到这样的问题，给出一个连续性随机变量的分布函数或者密度函数，含有未知常数，要我们求这样一个或者两个未知常数。

要求这样的未知常数，我们要用到的是分布函数和密度函数的性质，通常情况下我们用到的性质是

• \(F(-\infty)=0, F(+\infty)=1\);
• 若随机变量只分布在区间 \([a,b]\) 上，则 \(F(a)=0, F(b)=1\);
• \(\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=1\)。

若是分布函数，则用前两个性质，若是密度函数，则用后一个性质。我们来看几个例子。

例1：设随机变量的分布函数为\[F(x)=A+B\arctan x, \quad -\infty<x<\infty\] 求:系数 \(A\) 及 \(B\)。

解：（1）因为 \(\lim_{x\to-\infty}\arctan x=-\frac{\pi}{2}, \lim_{x\to\infty}\arctan x=\frac{\pi}{2} \)，所以由

\[ F(-\infty)=0, F(+\infty)=1 \] 得到

\[A-\frac{\pi}{2}B=0, A+\frac{\pi}{2}B= 1\] 解出 \(A,B\)， 我们得到

\[A=\frac{1}{2}, B=\frac{2}{\pi}\]

例2：设随机变量 \(X\) 的分布函数为

\[F(x)=\begin{cases}0,&x<0\\ Ax^2,\quad 0\le x\le1\\ 1,& x>1\end{cases}\]

解：因为随机变量落在区间 \([0,1]\) 上，所以 \(F(0)=0, F(1)=1\)，所以 \(A=1\)。

例3：设随机变量 \(X\) 的概率密度为

\[f(x)=\begin{cases}\frac{A}{\sqrt{1-x^2}},\quad &|x|<1\\ 0,& |x|\ge 1\end{cases}\]

解：因为

\[1=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=\int_{-1}^1 \frac{A}{\sqrt{1-x^2}} dx=A\arcsin x\Big|_{-1}^1=A\cdot \pi\]

所以 \(A=\frac{1}{\pi}\)

最后我们给出几个练习题，读者可以自行练习，也可以在下方评论区提问或者讨论。

练习1：设随机变量 \(X\) 的分布函数为\[ F(x)=\begin{cases}A+Be^{-\lambda x},& x\ge0;\\ 0, & x<0\end{cases}\]求常数 \(A,B\)。

练习2：设随机变量 \(X\) 的概率密度为\[ f(x)=A^{-|x|}, \quad -\infty<x<\infty\]求常数 \(A\)。

练习3：设随机变量 \(X\) 的概率密度为\[ f(x)=\begin{cases}Ax^2+x, \quad & 0\le x\le 0.5;\\ 0, & \text{其它}\end{cases}\]求常数 \(A\)。