如何求随机变量函数的分布函数和概率密度？

如果我们知道一个随机变量 \(X\) 的分布函数 \(F_X(x)\)，要求出它的一个函数 \(Y=h(X)\) 的分布函数，这通常是一个不太容易的问题。

事实上，对于这一类问题，最直接、最有效的方法还是利用分布函数的定义 \(F(y)=P(Y\le y)\)，然后利用 \(Y\) 与 \(X\) 的关系，对右边括号里的不等式进行变形，将 \(Y\) 的分布函数用 \(X\) 的分布函数表示出来，然后利用复合函数求导法则，可以求出 \(Y\) 的概率密度。我们来看一个例子。

例：设随机变量 \(X\) 的概率密度为

\[f(x)=\begin{cases}\frac{2}{\pi(1+x^2)},\quad &x>0\\ 0,& x\le 0\end{cases}\] 求 \(Y=\ln X\) 的分布函数与概率密度。

解：我们先求出 \(X\) 的分布函数。

当 \(x\le 0\) 时， \(f(x)=0\)，所以 \(F_X(x)=0\)。

当 \(x>0\) 时，

\[F_X(x)=\int_{-\infty}^xf(x)dx=\int_0^x \frac{2}{\pi(1+x^2)} dx= \frac{2}{\pi}\arctan x \] 所以

\[F_X(x)=\begin{cases}0,& x\le 0\\ \frac{2}{\pi}\arctan x , \quad & x>0\end{cases}\]

我们再来求 \(Y\) 的分布函数。由分布函数的定义

\[F_Y(y)=P(Y\le y)=P(\ln X\le y)=P(X\le e^y)=F_X(e^y)\]

最后一步我们利用了分布函数的定义。所以

\[ F_Y(y) =F_X(e^y) = \frac{2}{\pi}\arctan e^y ,\quad -\infty<y<\infty\]

这里 \(y\) 取所有实数值是因为 \(e^y>0\) 对所有 \(y\) 成立，所以我们需要取 \(F_X(x)\) 中 \(x\) 为正的部分。

下一步求密度函数，就只需要求导就行了。

\[f_Y(y)=F’_Y(y)= \frac{2e^y}{\pi(1+e^{2y})},\quad -\infty<y<\infty \]

从这个例子我们可以看出求随机变量函数分布的基本方法了。虽然在一些教材中，针对某些特殊形式的密度函数，导出一些求随机变量函数的分布的计算公式，但是最有效的，还是直接利用分布函数的定义来求，而且这种方法不容易​出错。​