形如 \[\int\tan^xdx, \int\cot^nxdx, \int\sec^nxdx, \int\csc^nxdx\]
的积分，基本上可以通过换元法或者分部积分法得出一个递推式，然后用递推法求得出它们的积分。这种类型的积分，递推式比较容易求得。我们来看看怎么做
\[\begin{align*}I_n&=\int\tan^nxdx\\ &=\int\tan^{n-2}x\tan^2xdx\\ &=\int \tan^{n-2}x(\sec^2x-1)dx\\ &=\int \tan^{n-2}x\sec^2x-\int\tan^{n-2}xdx\\ &=\frac{1}{n-1}\tan^{n-1}x-I_{n-2} \end{align*} \]
再由
\[\int\tan xdx=\int\frac{\sin x}{\cos x}dx=-\ln|\cos x|+C\]
和 \[\int\tan^2xdx=\int(\sec^2x-1)dx=\tan x-x+C\]
即可求出积分。例如
\[\begin{align*}\int\tan^5xdx&=\frac{1}{4}\tan^4x-\int\tan^3xdx\\ &= \frac{1}{4}\tan^4x -(\frac{1}{2}\tan^2x -\int\tan xdx)\\ &= \frac{1}{4}\tan^4x -\frac{1}{2}\tan^2x- \ln|\cos x|+C \end{align*}\]
而
\[\begin{align*} \int\tan^6xdx&=\frac{1}{5}\tan^5x-\int\tan^4xdx\\ &= \frac{1}{5}\tan^5x -(\frac{1}{3}\tan^3x -\int\tan^2 xdx)\\ &= \frac{1}{5}\tan^5x -\frac{1}{3}\tan^3x+ \tan x-x+C \end{align*}\]
对于 \(\cot^nx\) 的积分，同样的处理即可。
我们现在来看 \(\sec^nx, \csc^nx\) 的积分。这里需要用到分部积分法
\[\begin{align*}I_n=\int\sec^nxdx&=\int\sec^{n-2}x\sec^2xdx\\ &=\sec^{n-2}\tan x-\int\tan x(n-2)\sec^{n-3}x\tan x\sec xdx\\ &= \sec^{n-2}\tan x – (n-2)\int\sec^{n-2}x\tan^2 x\\ &= \sec^{n-2}\tan x – (n-2)\int\sec^{n-2}x (\sec^2x-1)dx\\ &= \sec^{n-2}\tan x – (n-2)\int\sec^{n}xdx +(n-2)\int\sec^{n-2}xdx \end{align*}\]
将右边\( (n-2)\int\sec^{n}xdx \)移项到左边，我们得到
\[(n-1)I_n= \sec^{n-2}\tan x +(n-2)I_{n-2}\]
也就是 \[I_n=\frac{1}{n-1} \sec^{n-2}\tan x +\frac{n-2}{n-1}I_{n-2}\]
再由
\[\int\sec xdx=\ln|\tan x+\sec x| +C\]
和 \[\int\sec^2xdx=\tan x+C\] 就可以求出积分。例如
\[\begin{align*}\int\sec^5xdx&=\frac{1}{4}\sec^3x\tan x+\frac{3}{4}\int\sec^3xdx\\ &= \frac{1}{4}\sec^3x\tan x + \frac{3}{4} \left(\frac{1}{2}\sec x \tan x+\int\sec x dx\right)\\ &= \frac{1}{4}\sec^3x\tan x + \frac{3}{8} \sec x \tan x + \frac{3}{4} \ln|\tan x+\sec x| +C \end{align*}\]
另外一个
\[\begin{align*}\int\sec^6xdx&=\frac{1}{5}\sec^4x\tan x+\frac{4}{5}\int\sec^4xdx\\ &= \frac{1}{5}\sec^4x\tan x + \frac{4}{5} \left(\frac{2}{3}\sec^2 x \tan x+\int\sec^2 x dx\right)\\ &= \frac{1}{5}\sec^4x\tan x + \frac{8}{15} \sec^2 x \tan x +\frac{4}{5} \tan x+C \end{align*}\]
文章最后，我们提供几个题供大家练习。
练习题 1：推导积分
\[1.\int\cot^nxdx,\qquad 2.\int\csc^nxdx\]
的递推公式。
练习题2：利用本文以及练习题1所得到的递推公式，求下列积分
\[\begin{align*}1. \int\cot^4xdx,\qquad &2.\int\csc^5xdx\\ 3.\int_0^{\frac{\pi}{4}}\tan^4xdx,\qquad& 4.\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{\sec^8x-1}{\tan^2x}dx\end{align*}\]
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