如何求 ${\sin }^{n}x,{\cos }^{n}x$ 的积分？

${\sin }^{n}x$ 和 ${\cos }^{n}x$ 的积分方法主要有两种：第一种是根据 $n$ 的奇、偶情况分别采用换元法或者降阶法来求；另一种是递推法。

我们来看换元法和降阶法。设 $n$ 是奇数，则我们采用换元法。例如

$$\begin{array}{rl}\int {\sin }^{5}xdx& =\int {\sin }^{4}x\sin xdx\\ & =\int (1-{\cos }^{2}x{)}^2(-\cos x{)}^{\prime }dx\\ & =-\int (1-2{\cos }^{2}x+{\cos }^{4}x)d(\cos x)\\ & =-\int (1-2u^2+u^4)du\\ & =-(u-\frac{2}{3}{u}^3+\frac{1}{u^5})+C\\ & =\frac{2}{3}{\cos }^{3}x-\cos x-\frac{1}{5}{\cos }^{5}x+C\end{array}$$

对于 ${\cos }^{n}x$ 同样处理。

如果 $n$ 是偶数，则使用降阶法。我们知道 ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos (2x)}{2},{\sin }^{2}x=\frac{1-\cos (2x)}{2}$。所以

$$\int {\sin }^{n}xdx=\int {\left(\frac{1-\cos (2x)}{2}\right)}^{n/2}dx$$

$$\int {\cos }^{n}xdx=\int {\left(\frac{1+\cos (2x)}{2}\right)}^{n/2}dx$$

从而使被积函数的阶降了一半。

例如

$$\begin{array}{rl}\int {\cos }^{4}xdx& =\int {\left(\frac{1+\cos (2x)}{2}\right)}^{2}dx\\ & =\frac{1}{4}\int (1+2\cos (2x)+{\cos }^2(2x))dx\\ & =\frac{1}{4}\int (1+2\cos (2x)+\frac{1+\cos (4x)}{2})dx\\ & =\frac{1}{4}(x+\sin (2x)+\frac{x}{2}+\frac{1}{8}\sin (4x))+C\end{array}$$

第二种方法就是递推法。这种方法的好处是可以不管 $n$ 的奇偶性，对任何的自然数 $n$ 都可以用。利用分部积分法

$$\begin{array}{rl}\int {\sin }^{n}xdx& =\int {\sin }^{n-1}x\sin xdx\\ & =-{\sin }^{n-1}x\cos x+\int (n-1){\sin }^{n-2}x\cos x\cos xdx\\ & =-{\sin }^{n-1}x\cos x+(n-1)\int {\sin }^{n-2}x{\cos }^{2}xdx\\ & =-{\sin }^{n-1}x\cos x+(n-1)\int {\sin }^{n-2}x(1-{\sin }^{2}x)dx\\ & =-{\sin }^{n-1}x\cos x+(n-1)\int ({\sin }^{n-2}x-{\sin }^{n}x)dx\end{array}$$

将右边的 $\int {\sin }^{n}xdx$ 移到左边，我们得到

$$n\int {\sin }^{n}xdx=-{\sin }^{n-1}x\cos x+(n-1)\int {\sin }^{n-2}xdx$$

如果记 $I_n=\int {\sin }^{n}xdx$，则上式为

$$I_n=-\frac{1}{n}{\sin }^{n-1}x\cos x+\frac{n-1}{n}{I}_{n-2}$$

那么只要给出 $n$ 的值，我们就可以利用这个公式以及

$$\int {\sin }^{0}xdx=x+C,\int \sin xdx=-\cos x+C$$

求出积分的值。 我们来看这个公式的应用。

$$\begin{array}{rl}\int {\sin }^{5}xdx& =-\frac{1}{5}{\sin }^{4}x\cos x+\frac{4}{5}\int {\sin }^{3}xdx\\ & =-\frac{1}{5}{\sin }^{4}x\cos x+\frac{4}{5}(-\frac{1}{3}{\sin }^{2}x\cos x+\frac{2}{3}\int \sin xdx)\\ & =-\frac{1}{5}{\sin }^{4}x\cos x-\frac{4}{15}{\sin }^{2}x\cos x-\frac{8}{15}\cos x+C\end{array}$$

$\int {\cos }^{n}xdx$ 可以完全同样的方式处理。我们有

$$\begin{array}{rl}\int {\cos }^{n}xdx& =\int {\cos }^{n-1}x\cos xdx\\ & ={\cos }^{n-1}x\sin x+\int (n-1){\cos }^{n-2}x{\sin }^{2}xdx\\ & ={\cos }^{n-1}x\sin x+(n-1)\int {\cos }^{n-2}x(1-{\cos }^{2}x)dx\\ & ={\cos }^{n-1}x\sin x+(n-1)\int {\cos }^{n-2}xdx-(n-1)\int {\cos }^{n}xdx\end{array}$$

所以

$$\int {\cos }^{n}xdx=\frac{1}{n}{\cos }^{n-1}x\sin x+\frac{n-1}{n}\int {\cos }^{n-2}xdx$$

例如

$$\begin{array}{rl}\int {\cos }^{4}xdx& =\frac{1}{4}{\cos }^{3}x\sin x+\frac{2}{3}\int {\cos }^{2}xdx\\ & =\frac{1}{4}{\cos }^{3}x\sin x+\frac{2}{3}(\frac{1}{2}\cos x\sin x+\frac{1}{2}\int {\cos }^{0}xdx)\\ & =\frac{1}{4}{\cos }^{3}x\sin x+\frac{1}{3}\cos x\sin x+\frac{1}{3}x+C\end{array}$$