求平面区域的面积，关键的第一步就是先将区域的图形画出来，根据区域的形状，我们可以比较容易得到积分的上、下限以及被积函数。
我们从定积分的定义就知道，曲边梯形
的面积为\[A=\int_a^bf(x)dx.\]
那么对于一般的平面区域，它们的面积该怎么求。我们来分成几种情形来讲：
情形1：假设平面区域是由曲线 \(x=a, x=b, y=f(x), y=g(x)\) 围成，
那么它的面积就是 \[\int_a^b(f(x)-g(x))dx\]
对于这种一般的平面图形，我们要记住的原则就是，求面积，永远是用上曲线减去下曲线积分。
情形2：如果上、下曲线不能用一个表达式表示，就要对区域进行分块，利用定积分的区域可加性来求，例如这样的区域的面积：
它的面积就要分成两部分来求。
\[A=\int_a^c(f_1(x)-g(x))dx+\int_c^d(f_2(x)-g(x))dx\]
情形3：如果平面区域是由曲线 \(y=c, y=d, x=h_1(y), x=h_2(y)\)所围成的话，
它的面积为 \[A=\int_c^d(h_2(y)-h_1(y))dx\]也就是说，我们用右边曲线减去左边曲线的积分来求面积。跟上一个情形一样，如果左右曲线不能用一个表达式表示，就要对区域进行分解，分别求各个部分的面积，最后求出整个图形的面积。
情形4： 如果平面图形由两个曲线围成
如果曲线 \(C_1\) 可以表示成 \(y=f_1(x)\) 也可以表示成 \(x=h_1(y)\)，而 \(C_2\) 可以表示成 \(y=f_2(x)\) 或者 \(x=h_2(y)\)，那么区域的面积等于积分\[\int_a^b (f_2(x)-f_1(x))dx\]或者\[ \int_c^d(h_1(y)-h_2(y))dy\]具体选择哪个积分变量还要看哪一个积分更方便计算。至于哪一个函数减哪一个函数，我们只需要记住一点就是：上曲线减下曲线，或者右曲线减左曲线。
情形 1 和情形 2 称为 \(x\) 型域，情形 3 称为 \(y\) 型域，情形 4 即可以算 \(x\) 域也可以算 \(y\) 型域。 \(x\) 型域以 \(x\) 为积分变量，被积函数为上曲线减去下曲线； \(y\) 型域以 \(y\) 为积分变量，被积函数为右曲线减去左曲线。
我们来看几个例子。
例1：求由曲线 \(y=x^2+1, y=z, x=-1, x=2\) 所围成的平面区域的面积。
解：我们先画出区域的图形，然后就可以确定积分上、下限以及被积函数。区域的图形如下：
从上面的图形我们可以看出，这个平面区域的面积为 \[A=\int_{-1}^2(x^2+1-x)dx=\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+x\Big|_{-1}^2=\frac{9}{2}\]
这个例子是属于第一种情形的。
例2：求由 \(y=\frac{1}{x}, y=x, y=2\) 所围成的平面区域的面积。
解：我们先画出平面区域的图形。
要求这个区域的面积，如果以 \(x\) 为积分变量，就需要将区域分成两个部分
这样的话，就要分成两个积分来求。这是因为下方曲线是由两条曲线组成，它们的表达式不一样，所以要分成两个部分。但是如果我们以 \(y\) 为积分变量，那么右边曲线和左边曲线都只有一条，所以只需要求一个积分就可以了。
注意一下，上图中，两条曲线我们都表示成 \(x\) 是 \(y\) 的函数，因为我们要以 \(y\) 为积分变量，也就是说，\(y\) 是自变量。所以由我们之前的分析，被积函数是右边曲线 \(x=y\) 减去左边曲线 \(x=\frac{1}{y}\)，而区域里 \(y\) 的最大值和最小值就是积分上、下限，所以区域的面积为\[A=\int_1^2(y-\frac{1}{y})dy=\frac{y^2}{2}-\ln y\Big|_1^2=\frac{3}{2}-\ln 2\]
从这个例子我们可以看出，有时候积分变量的选取，关系到积分的难易，所以在区域的图形画出来 以后，稍微分析一下，哪种方法比较容易计算。
我们来看最后一个例子。
例3：求由曲线 \(y=\sin x, y=\cos x, x=0, x=\frac{\pi}{2}\) 所围成的区域的面积。
解：如往常一样，我们先画出区域的图形。
从图形我们可以看出，要求这个区域的面积，得将它分成两部分，第一部分的上曲线是 \(\cos x\)，下曲线是 \(\sin x\) ，第二部分正好相反。当然我们也要求出两个曲线的交点，这个交点就是两部分的分界点。
由 \(\sin x=\cos x\)， 我们得到 \(\tan x =1\)，由此得到 \(x=\frac{\pi}{4}\)，这个我们已经在图上画出来了。所以平面区域的面积为
\begin{align*}A&=\int_0^{\frac{\pi}{4}}(\cos x-\sin x)dx+\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}(\sin x-\cos x)dx\\ &=(\sin x+\cos x)\Big|_0^{\frac{\pi}{4}}+(-\cos x-\sin x)\Big|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\\ &=2(\sqrt 2-1)\end{align*}
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