如何计算平面区域的面积？

求平面区域的面积，关键的第一步就是先将区域的图形画出来，根据区域的形状，我们可以比较容易得到积分的上、下限以及被积函数。

我们从定积分的定义就知道，曲边梯形

的面积为$$A={\int }_a^{b}f(x)dx.$$

那么对于一般的平面区域，它们的面积该怎么求。我们来分成几种情形来讲：

情形1：假设平面区域是由曲线 $x=a,x=b,y=f(x),y=g(x)$ 围成，

那么它的面积就是 $${\int }_a^b(f(x)-g(x))dx$$

对于这种一般的平面图形，我们要记住的原则就是，求面积，永远是用上曲线减去下曲线积分。

情形2：如果上、下曲线不能用一个表达式表示，就要对区域进行分块，利用定积分的区域可加性来求，例如这样的区域的面积：

它的面积就要分成两部分来求。

$$A={\int }_a^c(f_1(x)-g(x))dx+{\int }_c^d(f_2(x)-g(x))dx$$

情形3：如果平面区域是由曲线 $y=c,y=d,x=h_1(y),x=h_2(y)$所围成的话，

它的面积为 $$A={\int }_c^d(h_2(y)-h_1(y))dx$$也就是说，我们用右边曲线减去左边曲线的积分来求面积。跟上一个情形一样，如果左右曲线不能用一个表达式表示，就要对区域进行分解，分别求各个部分的面积，最后求出整个图形的面积。

情形4： 如果平面图形由两个曲线围成

如果曲线 $C_1$ 可以表示成 $y=f_1(x)$ 也可以表示成 $x=h_1(y)$，而 $C_2$ 可以表示成 $y=f_2(x)$ 或者 $x=h_2(y)$，那么区域的面积等于积分$${\int }_a^b(f_2(x)-f_1(x))dx$$或者$${\int }_c^d(h_1(y)-h_2(y))dy$$具体选择哪个积分变量还要看哪一个积分更方便计算。至于哪一个函数减哪一个函数，我们只需要记住一点就是：上曲线减下曲线，或者右曲线减左曲线。

情形 1 和情形 2 称为 $x$ 型域，情形 3 称为 $y$ 型域，情形 4 即可以算 $x$ 域也可以算 $y$ 型域。 $x$ 型域以 $x$ 为积分变量，被积函数为上曲线减去下曲线； $y$ 型域以 $y$ 为积分变量，被积函数为右曲线减去左曲线。

我们来看几个例子。

例1：求由曲线 $y=x^2+1,y=z,x=-1,x=2$ 所围成的平面区域的面积。

解：我们先画出区域的图形，然后就可以确定积分上、下限以及被积函数。区域的图形如下：

从上面的图形我们可以看出，这个平面区域的面积为 $$A={\int }_{-1}^2(x^2+1-x)dx=\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+x{|}_{-1}^2=\frac{9}{2}$$

这个例子是属于第一种情形的。

例2：求由 $y=\frac{1}{x},y=x,y=2$ 所围成的平面区域的面积。

解：我们先画出平面区域的图形。

要求这个区域的面积，如果以 $x$ 为积分变量，就需要将区域分成两个部分

这样的话，就要分成两个积分来求。这是因为下方曲线是由两条曲线组成，它们的表达式不一样，所以要分成两个部分。但是如果我们以 $y$ 为积分变量，那么右边曲线和左边曲线都只有一条，所以只需要求一个积分就可以了。

注意一下，上图中，两条曲线我们都表示成 $x$ 是 $y$ 的函数，因为我们要以 $y$ 为积分变量，也就是说，$y$ 是自变量。所以由我们之前的分析，被积函数是右边曲线 $x=y$ 减去左边曲线 $x=\frac{1}{y}$，而区域里 $y$ 的最大值和最小值就是积分上、下限，所以区域的面积为$$A={\int }_1^2(y-\frac{1}{y})dy=\frac{y^2}{2}-\ln y{|}_1^2=\frac{3}{2}-\ln 2$$ 

从这个例子我们可以看出，有时候积分变量的选取，关系到积分的难易，所以在区域的图形画出来 以后，稍微分析一下，哪种方法比较容易计算。

我们来看最后一个例子。

例3：求由曲线 $y=\sin x,y=\cos x,x=0,x=\frac{\pi }{2}$ 所围成的区域的面积。

解：如往常一样，我们先画出区域的图形。

从图形我们可以看出，要求这个区域的面积，得将它分成两部分，第一部分的上曲线是 $\cos x$，下曲线是 $\sin x$ ，第二部分正好相反。当然我们也要求出两个曲线的交点，这个交点就是两部分的分界点。

由 $\sin x=\cos x$， 我们得到 $\tan x=1$，由此得到 $x=\frac{\pi }{4}$，这个我们已经在图上画出来了。所以平面区域的面积为

$$\begin{array}{rl}A& ={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}(\cos x-\sin x)dx+{\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}(\sin x-\cos x)dx\\ & =(\sin x+\cos x){|}_0^{\frac{\pi }{4}}+(-\cos x-\sin x){|}_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}\\ & =2(\sqrt{2}-1)\end{array}$$