分离变量法IV：齐次方程，常数项非齐次边界

如果方程是齐次的，而边界条件是非齐次的，我们可以利用叠加原理，将未知函数写成两个函数之和，其中一个函数满足边界条件，另一个函数满足方程和齐次边界条件。满足边界条件的函数通常可以比较容易构造出来，剩下的那个函数可以通过分离变量法求解。将解得两个函数相加，就得到了方程的解。

如果边界条件只是常数，我们可以先求出方程的一个稳态解，它满足方程的边界条件。这样的函数很容易就求出来。我们还是以热方程为例来说明。

例：解初边值问题

\[\begin{cases}u_t-u_{xx},\qquad &0<x<\frac{\pi}{2}\\ u(0,t)=0,&u(\frac{\pi}{2})=1\\ u(x,0)=x\end{cases}\]

解：我们设 \(u(x,t)=u_{\infty}(x)+v(x,t)\)，其中 \(u_{\infty}^{\prime\prime}(x)=0, u_{\infty}(0)=0, u_{\infty}(\frac{\pi}{2})=1\)。求解 \(u_{\infty}(x)\)，我们得到 \(u_{\infty}=ax+b\)，代入边界条件，我们得到

\[u_{\infty}(x)=\frac{2}{\pi}x\]

将它代入等式 \(v(x,t)=u(x,t)-u_{\infty}(x)\)，利用原方程以及初边值条件，我们得到 \(v(x,t)\) 满足初边值条件

\[\begin{cases}v_t-v_{xx}=0,\qquad & 0<x<\frac{\pi}{2}\\ v(0,t)=0,& v(\frac{\pi}{2},t)=0\\ v(x,0)=(1-\frac{2}{\pi})x\end{cases}\]

应用分离变量法（分离变量法I），我们知道

\[v(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}b_ne^{-4n^2t}\sin(2nx)\]

其中 \[\begin{align*}b_n&=\frac{4}{\pi}\int_0^{\frac{\pi}{2}} (1-\frac{2}{\pi})x \sin(2nx)dx\\ &= \frac{4}{\pi} (1-\frac{2}{\pi}) \left(-\frac{x}{2n}\cos(2nx)+\frac{1}{4n^2}\sin(2nx)\right)\Bigg|_0^{\frac{\pi}{2}}\\ &= \frac{(-1)^{n+1}}{n} (1-\frac{2}{\pi}) \end{align*}\]

所以，方程的解为

\[u(x,t)= \frac{2}{\pi}x + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} (1-\frac{2}{\pi}) e^{-4n^2t}\sin(2nx) \]