问题1：求不定积分\[\int\frac{1-\ln x}{x^2+\ln^2x}dx.\]
答案：我们对被积函数变形得
\[\int\frac{1-\ln x}{x^2+\ln^2x}dx=\int\frac{\frac{1}{x^2}-\frac{\ln x}{x^2}}{1+\left(\frac{\ln x}{x}\right)^2}=\int\frac{d\left(\frac{\ln x}{x}\right)}{1+\left(\frac{\ln x}{x}\right)^2}=\arctan\left(\frac{\ln x}{x}\right)^2+C\]
问题2：求不定积分 \[\int\frac{4x^5-1}{(x^5+x+1)^2}dx.\]
答案：我们看到被积函数的分母是一个多项式的平方， 那么在求导公式 里，分母里是平方的，就是商的求导公式\(\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)’=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}\)。如果我们设 \(g(x)=x^5+x+1\)，那么 \(f'(x)g(x)-f(x)g'(x)=4x^5-1\)，也就是说 \[f'(x)(x^5+x+1)-f(x)(5x^4+1)=4x^5-1\] 因为分子分母都是多项式，那么 \(f(x)\) 也是多项式。多项式的导数比多项式本身低一阶。所以我们有：
\[f'(x)x^5-5f(x)x^5=4x^5, \quad f'(x)x-f(x)=0, \quad f'(x)=-1\]
所以我们可以得到 \(f(x)=-x\)，也就是说 \(\left(\frac{-x}{x^5+x+1}\right)’=\frac{4x^5-1}{(x^5+x+1)^2}\)。所以
\[\int\frac{4x^5-1}{(x^5+x+1)^2}dx= -\frac{x}{x^5+x+1}+C .\]
问题3：求由曲线 \(y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}x^{2/3}\) 及 \(x=y^3\) 所围成的平面图形的面积。
答案：求面积的话，我们先要求出交点，以便确定积分的上下限。将第二个曲线的方程代入第一个曲线的方程，我们有\[y^3-y^2-2=0\]解此方程，我们得到 \(y_1=0,y_2=-1,y_3=2\)，所以交点为 \((0,0),(-1,-1),(8,2)\)。
现在的问题是，我们要求面积的话，需要知道哪个曲线在上方，哪个曲线在下方。对于第一个曲线，我们一般是不知道它长什么的样的。这时候我们该如何确定上、下曲线呢？
我们可以用一些数值来确定它们的位置。在区间 \((-1,0)\)，我们选择 \(x=-\frac{1}{27}\)，那么第一个曲线为 \[y=\frac{1}{2}\cdot(-\frac{1}{27})-\frac{1}{2}\cdot(-\frac{1}{27})^{2/3}=-\frac{2}{27}\]
代入第二个曲线 ，我们有 \(y=-\frac{1}{3}\)，因为 \(-\frac{2}{27}>-\frac{1}{3}\)。所以在 区间 \((-1,0)\) 上，第一个曲线在上方。同理，我们可以选择 \(x=1\)，可以知道在区间 \((0,8)\)，第二个曲线在上方。所以面积为
\begin{align*}A&=\int_{-1}^0\left(\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}x^{2/3}-x^{1/3}\right)dx+\int_0^8\left(x^{1/3}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x^{2/3}\right)dx\\ &=(\frac{1}{4}x^2-\frac{3}{10}x^{5/3}-\frac{3}{4}x^{4/3})\Big|_{-1}^0+(\frac{3}{4}x^{4/3}-\frac{1}{4}x^2+\frac{3}{10}x^{5/3})\Big|_0^8\\&=\frac{69}{5}\end{align*}
问题4：设数列 \(\{x_n\}\) 由下式定义\begin{align*}x_n&=\frac{n+1}{9n^2+(n+1)^2}+\frac{n+2}{9n^2+(n+2)^2}+\cdots+\frac{9n}{9n^2+(9n)^2}\\&=\sum_{k=n+1}^{9n}\frac{k}{9n^2+k^2}\end{align*}求此数列的极限。
答案：因为 \[x_n=\sum_{k=n+1}^{9n}\frac{k}{9n^2+k^2}=\sum_{k=n+1}^{9n}\frac{\frac{k}{n}}{9+\left(\frac{k}{n}\right)^2}\cdot \frac{1}{n}\]
取极限后，我们发现这是定积分的定义，所以
\[\lim_{n\to\infty}x_n=\int_1^9\frac{x}{9+x^2}dx=\frac{1}{2}\ln(9+x^2)\Big|_1^9=\frac{1}{2}\ln 9=\ln 3\]
问题5：设 \(x_1=1\)，数列 \(\{x_n\}\)由递推式
\[x_{n+1}=\frac{5+3x_n}{3+x_n}\]所定义，证明数列 \(\{x_n\}\)收敛，并求其极限。
答案：递推式的极限，我们一般是用单调有界准则来证明其极限存在性。首先我们可以看到，如果极限存在，它的极限为 \(\sqrt{5}\)。因为两边取极限后，我们有 \[A=\frac{5+3A}{3+A}\]解这个方程，我们得到 \(A=\pm \sqrt5\)。但是显然 \(x_n>0\)，所以 \(A=\sqrt{5}\)。
现在我们证明这个极限是有界的。我们用数学归纳法证明 \(0<x_n<\sqrt{5}\)。\(x_1=1>0\)，所以很显然 \(x_n>0\)。我们现在证明 \(x_n<\sqrt{5}\)。首先 \(x_1=1<\sqrt{5}\)，我们假设 \(x_n<\sqrt{5}\)，我们希望能导出 \(x_{n+1}<\sqrt5\)。 因为 \(x_n<\sqrt5\)，我们对此不等式两边同乘以 \(3-\sqrt5\)（为什么乘以这个数？）， 我们得到 \[(3-\sqrt5)x_{n}<(3-\sqrt5)\sqrt5\]
展开，再移项，我们有\[5+3x_n<\sqrt5(3+x_n)\] 两边除以 \(3+x_n\)，我们就得到了 \[x_{n+1}=\frac{5+3x_n}{3+x_n}<\sqrt5\]
现在我们证明它是单调的。\[x_{n+1}-x_n=\frac{5+3x_n}{3+x_n}-x_n=\frac{5-x_n^2}{3+x_n}\] 因为 \(x_n<\sqrt5\)，所以我们知道上式大于 \(0\)，所以数列是单调的。
由单调有界准则，我们知道这个数列是有极限的。由第一段的叙述，它的极限为 \(\sqrt5\)。
注记：证明这个数列单调有界，也可以完全用归纳法来证明。我们这里的证明方式，是给出了数学上的一种常见的方法 ，就是有些数字，实际上是通过“凑”的方式得到的，例如我们刚才在不等式两边乘以 \(3-\sqrt5\)，实际上是对 \(x_{n+1}=\frac{5+3x_n}{3+x_n}<\sqrt5\)这个不等式反向运算得到的。
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