我们在之前的文章：有理函数的积分，并不只有部分分式法，举了一个例子
\[\int\frac{x^2-1}{x^4+1}dx\]
这个例子里，我们做代换 \[u=x+\frac{1}{x}\]来求积分，比直接使用部分分式法求要简单方便得多。这种类型的代换，称之为“对称代换”。这种代换在求一些特殊的有理函数或者类似的函数的积分的时候，会比较方便。
所谓的对称代换，是指做代换
\[u=x^{a}\pm\frac{1}{x^a}\] 同时，函数又些类似于 \[x^{a-1}\mp\frac{1}{x^{a+1}}\] 的项。这时候，进行对称代换会比较容易。我们来看一些例子。
例1：求积分 \[\int\frac{x^5-x}{x^8+1}dx\]
解：我们对分子分母同时除以 \(x^4\)，积分变形为
\begin{align*}\int\frac{x^5-x}{x^8+1}dx&=\int\frac{x-\frac{1}{x^3}}{x^4+\frac{1}{x^4}}dx\\&=\int\frac{x-\frac{1}{x^3}}{x^4+\frac{1}{x^4}+2-2}dx\\&=\int\frac{x-\frac{1}{x^3}}{\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)^2-2}dx\end{align*}
现在做代换 \(u=x^2+\frac{1}{x^2}\)，则 \(du=2\left(x-\frac{1}{x^3}\right)dx\)，所以原积分变为
\begin{align*}\int\frac{x^5-x}{x^8+1}dx&=\int\frac{x-\frac{1}{x^3}}{\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)^2-2}dx=\frac{1}{2}\int\frac{du}{u^2-2}\\ &=\int\frac{du}{(u-\sqrt2)(u+\sqrt2)}dx\end{align*}
利用有理函数的部分分式法，我们可以得到部分分式 \(\frac{1}{(u-\sqrt2)(u+\sqrt2)}=\frac{1}{2\sqrt2}\left(\frac{1}{u-\sqrt2}-\frac{1}{u+\sqrt2}\right)\)
\[\frac{1}{2}\int\frac{du}{(u-\sqrt2)(u+\sqrt2)}dx=\frac{1}{4\sqrt2}\int\left(\frac{1}{u-\sqrt2}-\frac{1}{u+\sqrt2}\right)dx=\frac{1}{4\sqrt2}\ln\left|\frac{u-\sqrt2}{u+\sqrt2}\right|+C\]
代回原来的变量，就得到了\[\int\frac{x^5-x}{x^8+1}dx=\frac{1}{4\sqrt2}\ln\left|\frac{x^2+\frac{1}{x^2}-\sqrt2}{x^2+\frac{1}{x^2}+\sqrt2}\right|+C\]
我们再来看一个不是有理函数的积分。
例2：求积分 \[\int\frac{x^2-1}{(x^2+1)\sqrt{x^4+1}}dx\]
解：我们在根式里面提出因子 \(x^2\) 到根式外面来，然后将分子分母同除以 \(x^2\)，积分变形为
\begin{align*}\int\frac{x^2-1}{(x^2+1)\sqrt{x^4+1}}dx&=\int\frac{x^2-1}{x(x^2+1)\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}}dx\\&=\int\frac{1-\frac{1}{x^2}}{\left(x+\frac{1}{x}\right)\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}}dx\\ &=\int\frac{1-\frac{1}{x^2}}{\left(x+\frac{1}{x}\right)\sqrt{(x+\frac{1}{x})^2-2}}dx\end{align*}
做代换 \(u=x+\frac{1}{x}\)，则上式变为
\[\int\frac{x^2-1}{(x^2+1)\sqrt{x^4+1}}dx=\int\frac{1-\frac{1}{x^2}}{\left(x+\frac{1}{x}\right)\sqrt{(x+\frac{1}{x})^2-2}}dx=\int\frac{du}{u\sqrt{u^2-2}}\]
做三角代换 \(u=\sqrt{2}\sec t\)，则 \[\int\frac{du}{u\sqrt{u^2-2}}=\int\frac{\sqrt{2}\sec t\tan t}{\sqrt{2}\sec t\tan t}dt=\int\frac{1}{\sqrt{2}}dt=\frac{t}{\sqrt{2}}+C\]
代回原来变量，因为 \(u=\sqrt{2}\sec t\)， 我们有 \(\cos t=\frac{\sqrt{2}}{u}\)，从而 \(t=\arccos \frac{\sqrt{2}}{u}\)，所以
\begin{align*}\int\frac{x^2-1}{(x^2+1)\sqrt{x^4+1}}dx&=\frac{t}{\sqrt{2}}+C\\&=\frac{1}{\sqrt2}\arccos \frac{\sqrt{2}}{u}+C\\&=\frac{1}{\sqrt2}\arccos \frac{\sqrt{2}}{x+\frac{1}{x}}+C\\&=\frac{1}{\sqrt2}\arccos \frac{\sqrt{2}x}{x^2+1}+C\end{align*}
以下几个习题留给读者练习。
1，求积分 \[\int\frac{x^2-1}{x^4+x^2+1}dx\]
2，求积分 \[\int\frac{x^4+1}{x^2\sqrt{x^4-1}}dx\]
3，求积分 \[\int\frac{x^2+1}{x^4+3x^3+3x^2-x+1}dx\]
4，求积分 \[\int\frac{x^2}{x^4+1}dx\]
最后一个可能会有点麻烦，如果你有什么想法，可以在留言区留言。
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