利用高阶微分方程求解一阶线性微分方程组

我们知道，每一个高阶微分方程都可以对应一个一阶微分方程组，所以高阶的微分方程可以用一阶微分方程组来求解。反之，一阶的微分方程组也可以用高阶的微分方程来求解。我们来看一下如何利用高阶微分方程来求解一阶的线性微分方程组。

我们以两个函数的方程组来说明如何使用这个方法。设有一阶方程组

$$\{\begin{array}{l}\frac{dx}{dt}=f(t,x,y)\\ \frac{dy}{dt}=g(t,x,y)\end{array}$$

将第一个方程求导，得到 ${\displaystyle \frac{d^{2}x}{d{t}^2}=\frac{df}{dt}}$，将方程组代入到右边，得到 $$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=h(t,x,y)$$

然后将此式与第一个方程联立，消去 $y$，得到关于 $x$ 的二阶方程，求出此方程，再代入到方程组里的第二个方程，就可以求出 $y$。

对于三个和三个以上的未知函数的方程，可以类似处理。

我们来看例题。

例1，求方程组的通解，

$$\{\begin{array}{l}\frac{dx}{dt}+y=\cos t\\ \frac{dy}{dt}+x=\sin t\end{array}$$

解：将第一个方程对 $t$ 求导，得到

$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+\frac{dy}{dt}=-\sin t$$

将 $\frac{dy}{dt}=-x+\sin t$ 代入上式，得到

$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}-x=-2\sin t$$

利用二阶常系数非齐次方程的解，不难求出它的通解为 $$x=C_1{e}^x+C_2{e}^{-x}+\sin t$$

将它代入第二个方程，得到

$$\frac{dy}{dt}+C_1{e}^x+C_2{e}^{-x}+\sin t=\sin t$$

也就是

$$\frac{dy}{dt}=-C_1{e}^x-C_2{e}^{-x}$$

两边积分，就得到

$$y=-C_1{e}^x+C_2{e}^{-x}$$

所以方程的通解为

$$\{\begin{array}{l}x=C_1{e}^x+C_2{e}^{-x}+\sin t\\ y=-C_1{e}^x+C_2{e}^{-x}\end{array}$$