大学数学之后，会遇到各种各样的“空间”定义，例如，线性空间，拓扑空间，赋范空间，内积空间，希尔伯特空间，巴拿赫空间，索伯列夫空间……
那么什么是一个“空间”呢？其实没有哪个教材对“空间”这一个词有 一个明确的定义。
一般认为，“空间”就是带有某种结构的集合。
我们现在来看看有哪些常见的“空间”。
1，线性空间：线性空间就是在集合上定义了加法和数乘两个运算，并且集合对这两个运算封闭。其中加法满足交换律和结合律，数乘满足结合律与分配律。另外集合中存在零元和幺元。具体的定义可参考任何一本线性代数的书。
线性空间也许是进入大学以后接触到的第一个空间的定义。
2，拓扑空间：在一个集合上定义了一个拓扑结构，这个集合连同这个拓扑结构就被称之为一个拓扑空间。
一个集合上的拓扑是指它的一个子集的集合，满足：集合本身和空集在这个集合中；任何多个元素的并与有限个元素的交都在这个集合中。
这样的集合与它上面的给出的一个拓扑称之为拓扑空间。一个集合可以给出不同的拓扑结构，从而构成不同的拓扑空间。
3，距离空间（度量空间）：在集合中定义一个距离或者度量，就构成了一个距离（度量）空间。
集合上的距离满足三个条件：非负性；对称性；三角不等式。
任何一本泛函分析的教材都有距离空间的定义。
4，欧氏空间：我们接触得最多的空间。就是在集合上定义了欧氏距离的距离空间。欧氏距离定义为\[d(x,y)=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+\cdots+(x_n-y_n)^2}\]
这个空间我们在中学就在用了，我们日常所处的空间就是三维欧氏空间。
5，赋范空间：在集合上定义一个范数，此集合连同上面定义的范数就成为一个赋范空间。由范数可以导出集合上的距离，所以赋范空间也是距离空间。
范数与距离的不同之处在于，我们可以对集合上的一个元素定义范数 \(\|x\|\)，它大致上相当于向量的长度。但是对于距离空间，没有这样的定义 \(d(x)\)。距离是针对两个点来定义的，虽然我们也有 \(d(x,x)=0\) 这样的性质。
6，巴拿赫（Banach）空间：巴拿赫空间是完备的赋范空间，所以它本身肯定是一个赋范空间。
所谓完备的，意思就是说若 \(x_n\in X\)，及 \(\lim_{n\to \infty}x_n=x\)，那么一定有 \(x\in X\)。也就是说，一个巴拿赫空间的收敛点列，其极限也在这个空间中。
7，内积空间：在一个集合上定义一个双线性形式，就形成一个内积空间。所谓的双线性形式，就是对两个元素都是线性的（加法和数乘）。
\[<x+y,z>=<x,z>+<y,z>,\quad <x,y+z>=<x,y>+<x,z>\]
\[<ax,y>=a<x,y>=<x,ay>\]
由内积可以导出集合上的范数，所以内积空间也是赋范空间。
8，希尔伯特（Hilbert）空间：完备的内积空间称为希尔伯特空间。同样，完备的意思就是集合上收敛的点列，它的极限也在这个集合当中。
距离空间，赋范空间，巴拿赫空间，内积空间，希尔伯特空间，这几个空间是泛函数分析的基本研究对象。
9，仿射空间（affine space）：仿射空间是一个几何概念。粗略的说法，仿射空间就是没有原点的欧氏空间。在它上面没有距离、长度和角度的概念。但是两点相减可以得到一个向量。
任何一个线性空间是仿射空间。
它的严格定义可以参考仿射几何的教材。
10，射影空间（projective spaces）：射影空间是一个把”平行直线相交于无穷远处”的描述进行形式化定义的几何对象。在仿射空间中定义一个“无穷远”的点，就形成了射影空间。
或者另外一个直观的定义是：\(n+1\) 维中的所有一维线性子空间的集合，称为 \(n\) 维射影空间。
11，测度空间：在一个集合上定义一个测度，称形成一个测度空间。一个集合上的测度满足两个条件：空集的测度为 \(0\)；不相交的集合的并的测度，等于各个集合的测度之和。
很多实变函数的教材的用的这个定义，但是也有很多教材是从勒贝格外测度开始引入可测和测度。但事实上，勒贝格测度也满足这两个条件。当然除了勒贝格测度以外，还有别的测度。
12，概率空间：现代概率论里，概率空间就是一个全空间测度为 \(1\) 的测度空间。
在概率空间里，任何多个概率空间族的积空间仍然是概率空间。这是与测度空间不同的地方。在测度空间里，只有有限个测度空间的积空间仍然是一个测度空间。
13，\(L^p\) 空间：这是在实变函数里就遇到的空间。若
\[\int_a^b|f(x)|^pdx<\infty\]
我们\([a,b]\) 上满足这个条件的所有可测函数的集合为 \(L^p\) 空间。
\(L^P\) 空间是一个函数空间，也是现代数学里最基本的一个函数空间。
在本科阶段，大致上就是这些空间的定义，有些空间可能有的同学都不会遇到。研究生阶段的空间的定义会更多。当然，还有更多的数学空间的定义，我们就不列出来了。例如，索伯列夫（Sobolev）空间，洛伦兹（Lorentz）空间，豪斯道夫（Hausdorff）空间，哈代（Hardy）空间，等等。这些空间都有自身的空间结构。我们不展开叙述了。
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