学好数学，第一要点是要做足够的习题。只有足够的练习，才能准确、熟练地掌握所学的内容。
这一点，是所有数学老师都会强调，而且每个家长都清楚的一个道理。所以我不打算在这里过多强调这一点。
我们经常碰到有些学生，明明掌握了所学的知识点，但在考试中会出现这样那样的问题，例如，时间不够，简单的计算错误，对一些复杂的式子不知所措等等，这些都极大地影响了最后的学习成绩。
针对这些情况，我们讨论一些平时不太让人注意，但是却很能影响考试成绩的一些方法与技巧。
第一，先化简，再计算。每做一步，化简一步，再进行下一步计算。化简之后，计算会变得更简单，更不容易出错，可以更快并且更准确地得到答案。
例如，分式的乘法运算，要先化简，再做乘法（除法也是用乘法来算）
\[\frac{7}{8}\times\frac{4}{5}=\frac{7}{\cancel{8}2}\times\frac{\cancel{4}}{5}=\frac{7}{10}\]
但是事实上，很多同学是这样做的
\[\frac{7}{8}\times\frac{4}{5}=\frac{28}{40}=\frac{\cancel{4}\times 7}{\cancel{4}\times 10}=\frac{7}{10}\]
至少多了一步。更有甚者，
\begin{align*}\frac{7}{8}\times\frac{4}{5} &=\frac{28}{40}=\frac{\cancel{2}\times 14}{\cancel{2}\times 20}\\ &=\frac{14}{20}=\frac{\cancel{2}\times 7}{\cancel{2}\times 10}\\ &=\frac{7}{10}\end{align*}
这就多了好几步。如果数字再大一点，那就更不得了。当然，这除了不会先简化以外，还涉及到基本的计算能力的问题，这就是我们第二点要讲的方法，平时做题尽量不用计算器。
我们再来看一个化简的问题，解方程
\[\sqrt{x+19}+\sqrt{x-2}=7\]
这样的方程，两个根号，两边直接平方的话，左边会再出现一个根号，而且根号里面是一个二次多项式，然后再平方，计算量就大。那么我们先把其中一个根号放到右边去，
\[\sqrt{x+19}=7-\sqrt{x-2}\]
再平方，
\[x+19=49-14\sqrt{x-2}+x-2\]
合并同类项，将根号放到左边，其余的放到右边（也可以反过来，根号放右边，其余放左边，但这样的话，根号就是负的，多一个东西在那里，我个人是不喜欢的。）
\[14\sqrt{x-2}=49+x-2-x-19,\]
\[14\sqrt{x-2}=28\]
有些同学这里就直接两边平方了，不管是 \(14\) 还是 \(28\) 的平方都是不小的数啊！但事实上，只要两边除以 \(14\)，就得到
\[\sqrt{x-2}=2\]再两边平方，多简单，
\[x-2=4,\quad x=6\]
再把答案代入方程，成立。所以方程的解是 \(x=6\)。
这里我们就是，每做一步，化简一步，这样计算量小，速度快，而且不容易出错。
第二，尽量不依赖计算器。北美的学生尤其依赖使用计算器，这使得他们的基本计算技巧特别弱。在碰到一些不准用计算器的考试中，在一些基本的计算上花费太多的时间，从而会造成时间不够或者不能够充分思考的情况下答题。我碰到一些学生，特别是北美本地长大的学生，甚至到了大学，基本的四则运算都不熟练。
第三，简化运算式。这跟之前化简不一样，化简是将一些数字、运算式约掉，但简化是通过一些运算，将复杂的式子变成相对简单的运算式，再对简化后的式子进行运算。
例如，我们对二次多项式进行因式分解
\[\frac{1}{3}x^2-\frac{1}{4}x-\frac{5}{24}\]
这样的二次多项式，即使你很熟悉因式分解，也是很难直接分解出来的。但是如果我们这样做
\[\frac{1}{3}x^2-\frac{1}{4}x-\frac{5}{24}=\frac{1}{24}(8x^2-6x-5)\]
然后对括号里的部分进行分解，就容易多了。利用交叉相乘的方法，很快就可以分解出来
\[\frac{1}{3}x^2-\frac{1}{4}x-\frac{5}{24}=\frac{1}{24}(2x+1)(4x-5)\]
第四，使用分数而不是小数进行运算，使用 \(\pi, e\) 等进行运算，而不是使用 \(3.14, 2.72\) 等进行运算。使用根式而不是用小数进行运算。
同样的一个数，小数的计算量要比分数的计算量大得多。我们看一个例子，这是我前几天跟几个同学讨论问题的碰到的。求二次函数 \[y=x^2+5x+19\] 的顶点。
标准的做法就是配方法，同学是这样做的
\begin{align*}y=x^2+5x+19=(x^2+5x)+19\\&=(x^2+5x+2.5^2)-2.5^2+19\\&=(x-2.5)^2-6.25+19\\ &=(x-2.5)^2+12.75\end{align*}
所以顶点为点 \((2.5,12.75)\)。我当时就说，能够用分数，就不要用小数。你们看，\(2.5\) 的平方，本质上就是 \(25\) 的平方，两位数的平方，但是如果是用 \(\frac{5}{2}\) 的平方，就是两个一位数的平方，是不是简单得多？\(2\) 和 \(5\) 的平方，即使是两个数的平方，也比一个两位数的平方容易计算得多！不信，如果我们换一个数字
\[y=x^2+9x+19\]
那就需要计算 \(4.5\) 的平方，这个数估计一般人心算不出来，得用竖式乘法来算。而 \(\frac{9}{2}\) 的平方，几乎每个人都可以在一秒内算出来 。
一句话，尽量避免小数的运算。能够用分数、根式、\(\pi, e\) 这些进行运算的，就不要使用小数。如果考试要求用小数表示出来，也是在最后一步化成小数。
第五，当解题方式有几种选择时，选取最快，最简便的解题方式。例如，解二次方程时，能够用因式分解就不要用二次根式解的公式。因式分解时，交叉相乘是最快的方式，而不是先将 \(a,c\) 相乘，再分解，再除以 \(a\) 的方式。
我们前面那个解方程的例题，
\[\sqrt{x+19}+\sqrt{x-2}=7\]
我们可以两边同时平方，然后再移项，简化，但是得到的式子却复杂多了，虽然也能解出来 ，但是效率却差了很多！
第六，记住所有重要的公式，而不依赖于公式纸。北美的考试中，大部分都有一张 cheat sheet，也就是公式表。我经常跟学生说，不要去看那张纸，如果依赖于那个公式表来答题，肯定不会有好成绩，因为你效率太低了呀。你有多少时间花在找公式的过程中去了。考试是有时间限制的，你花太多时间在找公式中，那么留给你答题的时间就少了呀。如果你记住了这些公式，你答题时，就不需要去花时间翻公式表。更糟糕的是，有时候你即使你看了公式表，你也不知道该用哪个公式！
当然，记住重要的公式，不是让学生去背这个公式表。这些公式都是通过不断的练习中记住的。我也经常跟学生说，做题时，也不应该去看着公式表来做题。只有当你需要确定你使用的公式是否正确的情况下，才去看公式表。这样记住的公式才记得牢，用得准，算得快。
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