连续型随机变量的边缘分布

二维连续型随机变量的边缘分布，可以用边缘密度来定义。对联合概率密度将其中一个变量从负无穷大到正无穷大积分，就得到另一个变量的边缘密度。

1，边缘分布：我们知道二维随机变量的边缘分布为

$$F_X(x)=P(X\le x)=P(X\le x,Y<\mathrm{\infty })=F(x,+\mathrm{\infty })$$

$$F_Y(y)=P(Y\le y)=P(X<\mathrm{\infty },Y\le y,)=F(+\mathrm{\infty },y)$$

2，连续型随机变量：若 $(X,Y)$ 为二维连续型随机变量，$(X,Y)$ 的联合概率密度为 $f(x,y)$，则边缘分布函数与边缘概率密度为

$$\begin{array}{rl}{F}_X(x)& =P(X\le x,Y<\mathrm{\infty })={\int }_{-\mathrm{\infty }}^x{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x,y)dydx\\ f_X(x)& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x,y)dy\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{F}_Y(y)& =P(X<\mathrm{\infty },Y\le y)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^y{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x,y)dxdy\\ f_Y(y)& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x,y)dx\end{array}$$

例1，设 $(X,Y)$ 的联合概率密度为

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}2e^{-(2x+y)},& x\ge 0,y\ge 0\\ 0,& \text{其它}\end{array}$$

求 $X,Y$ 的边缘概率密度。

解：$$\begin{array}{rl}{f}_X(x)& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x,y)dy\end{array}$$

当 $x<0$ 时，$f(x,y)=0$，所以 $F_X(x)=0$；

当 $x\ge 0,y\ge 0$ 时，$f(x,y)=2e^{-(2x+y)}$，所以

$$\begin{array}{rl}{f}_X(x)& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x,y)dy={\int }_0^{\mathrm{\infty }}2e^{-(2x+y)}dy\\ & =e^{-2x}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-y}dy=e^{-2x}(-e^{-x}){|}_0^{\mathrm{\infty }}\\ & =2e^{-2x}\end{array}$$

同理， $y<0$ 时，$f_Y(y)=0$；$y\ge 0$ 时，

$$\begin{array}{rl}{f}_Y(y)& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}2e^{-(2x+y)}dx\\ & =e^{-x}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}2e^{-2x}dx\\ & =e^{-x}(2e^{-2x}){|}_0^{\mathrm{\infty }}\\ & =e^{-x}\end{array}$$

总结起来，可以得到

$$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-2x},& x\ge 0\\ 0& ,x<0\end{array}$$

$$f_Y(y)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-x},& y\ge 0\\ 0& ,y<0\end{array}$$

注意到， 在这个例子里，$f(x,y)=f_x(x)\cdot f_Y(y)$，这不是偶然的，这是我们后面要讲的随机变量的独立性的概念。

例2，设 $(X,Y)$ 的联合概率密度为

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}6,& x^2\le y\le x\\ 0,& \text{其它}\end{array}$$

求 $X,Y$ 的边缘概率密度。

解：概率分布的区域如图：

$y=x^2$ 与 $y=x$ 交于两点 $(0,0),(1,1)$。

所以若 $x<0$ 或者 $x>1$，$f(x,y)=0$，所以 $f_X(x)=0$；

若 $0\le x\le 1$，则

$$\begin{array}{rl}{f}_X(x)& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x,y)dy={\int }_{x^2}^{x}6dy\\ & =6y{|}_{x^2}^x=6x(1-x)\end{array}$$

这里要注意的是，$y$ 的下限不是 $0$，上限也不是$1$。这是因为对任何的 $[0,1]$ 上的任何一个固定点 $x_0$，区域内部的 $y$ 是从 $y=x_0^2$ 变到 $y=x_0$，也就是直线 $x=x_0$ 与区域相交的部分。

总结起来，可以得到 $X$ 的边缘分布

$$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}6x(1-x),& 0\le x\le 1\\ 0,& \text{其它}\end{array}$$

同理，若 $y<0$ 或者 $y>1$， 则 $f(x,y)=0$，所以 $f_Y(y)=0$。

若 $0\le y\le 1$， 则

$$\begin{array}{rl}{f}_Y(y)& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x,y)dy={\int }_y^{\sqrt{y}}6dx\\ & =6x{|}_y^{\sqrt{y}}=6(\sqrt{y}-y)\end{array}$$

所以

$$f_Y(y)=\{\begin{array}{ll}6(\sqrt{y}-y),& 0\le y\le 1\\ 0,& \text{其它}\end{array}$$