微分中值定理

微分中值定理包含了三个定理：罗尔定理，拉格朗日中值定理以及柯西中值定理。本节我们证明这三个定理。

我们首先来看最特殊的定理：罗尔定理。

1，定理（罗尔定理）：设 $f(x)$满足以下三个条件

• $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续；
• 在开区间 $(a,b)$ 内可导；
• $f(a)=f(b)$

则在 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi \in (a,b)$，使得 $f^{\prime }(\xi )=0$。

证明：因为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，所以它在区间内有最大值 $M$ 和最小值 $m$。

（1）假设 $f(a)=f(b)=M=m$，那么 $f(x)=C$，所以对任何 $x\in (a,b)$，$f^{\prime }(x)=0$；

（2）假设最大最小值至少有一个不在端点处。不妨设 $M=f(\xi )$，则由费马引理，我们知道 $f^{\prime }(\xi )=0$。

我们来看罗尔定理的一个简单应用。

例1：证明方程 $$x^3+3x+1=0$$ 有唯一解。

解：我们定义函数 $f(x)=x^3+3x+1$。因为 $f(-1)=-3,f(0)=1$，由介值定理，我们知道这个函数在 $(-1,0)$ 内有一个零点。但是因为 $$f^{\prime }(x)=3x^2+3>0$$所以方程只可能有一个解。因为若有两点 $x=a,x=b$ 都是函数的零点，那么由罗尔定理，一定存在一点 $\xi \in (a,b)$， 使得 $f^{\prime }(\xi )=0$，这与 $f^{\prime }(x)>0$矛盾。所以函数只有一个零点，也就是说方程只有一个解。

２，定理（拉格朗日中值定理）：若函数 $f(x)$满足

• 在$[a,b]$ 上连续；
• 在 $(a,b)$ 内可导

则存在至少一点 $\xi \in (a,b)$，使得 $$f^{\prime }(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

注：我们一般所指的中值定理，就是指拉格朗日中值定理。它的几何意义就是函数在 $\xi$ 处的切线斜率等于两个端点连线的直线斜率。从定理的结论来看，右边是端点连续的斜率，左边是切线的斜率。

证明：我们利用罗尔定理来证明这个结论。我们知道两个端点连线的方程为$$y=f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$$作函数 $$F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$$

那么 $F(a)=F(b)=0$，所以由罗尔定理，存在一点 $\xi \in (a,b)$，使得 $F^{\prime }(\xi )=0$，也就是说$$f^{\prime }(\xi )-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$$所以 $$f^{\prime }(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{n-a}$$

我们来看一个例题。

例2：$f(x)=x^3-x$ 在$[0,2]$ 区间上连续，在 $(0,2)$ 内可导，

$$f^{\prime }(x)=3x^2-1,\frac{f(2)-f(0)}{2-0}=\frac{8-2}{2}=3$$

$$3x^2-1=3,⟹3x^2=4,x=\pm \frac{2}{\sqrt{3}}$$因为在区间 $(0,2)$ 内，所以 $\xi =\frac{2}{\sqrt{3}}$

由拉格朗日中值定理，我们可以得到一个重要的推论。

3，推论：若对所有的 $x\in (a,b)$， $f^{\prime }(x)=0$，则在此区间上， $f(x)=C$。

证明：对区间上任意不同的两点 $x_1\ne x_2$，由拉格朗日中值定理，存在一点 $\xi \in (x_1,x_2)$，$$f^{\prime }(\xi )=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=0$$由此得到 $f(x_2)=f(x_1)$，因为 $x_1,x_2$ 是任意不同的两点，所以 $f(x)=C$

4，定理（柯西中值定理）：设函数 $f(x),F(x)$ 满足

• 在闭区间 $[a,b]$ 上连续；
• 在开区间 $(a,b)$ 内可导；
• $F^{\prime }(x)\ne 0$

则在区间 $(a,b)$ 内存在一点 $\xi \in (a,b)$，使得

$$\frac{f^{\prime }(\xi )}{F^{\prime }(\xi )}=\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-f(a)}$$

证明：我们令$$\varphi (x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}F(x)$$我们可以验证这个函数满足罗尔定理的条件，应用罗尔定理，就可以得到要证的结论。这里我们略去细节。