极值存在的第二条件

我们求函数的极值的时候，可以用一阶导数是否变号来判定，也可以用二阶导数在该点的符号来判定。这就是极限存在的第二个条件。如果函数在某点的一阶导数为$0$，而二阶导数不为$0$，则函数在该点取到极值。二阶导数为正，则为极小值，二阶导数为负，则为极大值。

我们将上面的结论叙述成定理。

1，定理（极值存在的第二个充分条件）：设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处二阶可导且 $f^{\prime }(x_0)=0$，

• 若 $f^{\prime \prime }(x_0)>0$，则 $x_0$ 为极小值点，极小值为 $f(x_0)$；
• 若$f^{\prime \prime }(x_0)<0$，则 $x_0$ 为极值大点，极大值为 $f(x_0)$。

证明：若 $f^{\prime }(x_0)=0$ 且 $f^{\prime \prime }(x_0)>0$，则函数在此处的切线是水平的（斜率为 |$0$），而且函数是凹的，所以函数在此处取到极小值。反之，若 $f^{\prime }(x_0)=0$ 且 $f^{\prime \prime }(x_0)<0$，则函数在此处的切线是水平的并且函数是凸的，所以函数在此处取到极大值。

注：这里的条件只是充分的，并不是必要的。

例1：设函数 $f(x)=3x^4-4x^3-12x^2+5$ 的极值。

解：因为 $$f^{\prime }(x)=12x^3-12x^2-24x=12x(x+1)(x-2)$$令它等于 $0$，得到三个值 $x_1=0,x_2=-1,x_3=2$。现在我们求二阶导数。$$f^{\prime \prime }(x)=36x^2-24x-24$$代入三个值，我们可以得到 $$f^{\prime \prime }(0)=-24<0,f^{\prime \prime }(-1)=36>0,f^{\prime \prime }(2)=72>0$$所以 $f(-1)=0$ 是极小值； $f(0)=5$ 是极大值； $f(2)=-27$ 是极小值。

例２：求 $f(x)=(x^2-1{)}^3+1$ 的极值。

解：函数的一、二阶导数为$$f^{\prime }(x)=3(x^2-1{)}^2\cdot 2x=6x(x^2-1{)}^2,f^{\prime }(x)=0,x=0,\pm 1$$

$$f^{\prime \prime }(x)=6(x^2-1{)}^2+6x\cdot 2(x^2-1)\cdot 2x=6(x^2-1{)}^2+24x^2(x^2-1)=6(x^2-1)(5x^2-1)$$

$f^{\prime \prime }(0)=6>0$，所以 $f(0)=0$ 是极小值； $f^{\prime \prime }(-1)=0,f^{\prime \prime }(1)=0$，所以这两种情形无法判断。

当然，如果我们用一阶导数来判断，就可以知道这两点不是极值。