将复合函数求导法反向应用就是换元积分法。换元法一般是两种，第一种是令 \(u=g(x)\)，另一种是 \(x=\varphi(t)\)，第一种称为第一类换元法，第二种称为第二类换元法。这一节我们讲第一类换元法。
1，第一类换元法的公式：令 \(u=g(x)\)，则\(du=g'(x)dx\)
\[\int f\left(g(x)\right) \cdot g'(x) dx=\int f(u)du\]
利用第一类换元法的基本思想是：哪一部分是积分的难点，就换哪一部分
例1，求 \(\displaystyle\int e^{2x}dx\)。
解：这里，指数部分不是基本公式里的形式，所以可以直接令 \(u=2x\)，则\(du=2dx\)，\(dx=\frac{1}{2}du\)
\[\int e^{2x}dx=\int e^u\cdot \frac{1}{2} du=\frac{1}{2}e^u+C=\frac{1}{2}e^{2x}+C\]
例2，求\(\displaystyle\int \frac{dx}{x+4}\)
解：这里分母与我们的基本积分公式不一致，就将它换掉。令\(u=x+4\)，则\(du=dx\)
\[\int \frac{dx}{x+4}=\int \frac{1}{u}du=\ln|u|+C=\ln|x+4|+C\]
例3，求\(\displaystyle\int \frac{dx}{ax+b}\)
解答：这里也是分母与基本积分公式里的形式不一致。所以令\(u=ax+b\)，则\(du=adx\)，\(\displaystyle dx=\frac{1}{a} dn\)
\[\int \frac{dx}{ax+b}=\int \frac{1}{u}\cdot\frac{1}{a}du=\frac{1}{a}\int \frac{1}{u}du=\frac{1}{a}\ln|a|+C\]
例4，求\(\displaystyle\int 2xe^{x^2}dx\)
解：令\(u=x^2\)，则\(du=2xdx\)
\[\int 2xe^{x^2}dx=\int e^udu=e^u+C=e^{x^2}+C\]
例5，求\(\displaystyle\int e^x\cdot \cos (e^x) dx\)
解：令\(u=e^x\)，则\(du=e^xdx\)
\[\int e^x\cdot \cos (e^x)dx=\int \cos u du=\sin u+C\]
例6，求\(\displaystyle\int \frac{dx}{9+x^2}\)
解：这里分母是 \(9+x^2\)，而我们基本积分公式里是 \(\frac{1}{1+x^2}\)，分母是 \(1+x^2\)，所以不能直接应用基本积分公式。但是如果我们将这个被积函数变形，
\[\int \frac{dx}{9+x^2}=\frac{1}{9}\int \frac{dx}{1+\frac{x^2}{9}}=\frac{1}{9}\int \frac{dx}{1+(\frac{x}{3})^2}\]
那我们可以令\(\displaystyle u=\frac{x}{3}\)，则\(\displaystyle du=\frac{1}{3}dx\)，\(\displaystyle dx=3du\)，就可以利用基本积分公式求出积分了
\[\begin{align*}\int \frac{dx}{9+x^2}&=\frac{1}{9}\int \frac{dx}{1+(\frac{x}{3})^2}=\frac{1}{3}\int \frac{du}{1+u^2}\\ &=\frac{1}{3}\arctan u+C=\frac{1}{3}\arctan \frac{x}{3}+C\end{align*}\]
例7，求\(\displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}\)
解：将被积函数变形为
\[\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\frac{1}{a}\int \frac{dx}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{a}\right)^2}}\]
令\(\displaystyle u=\frac{x}{a}\)，则\(dx=adu\)
\[\begin{align*} \int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}&=\frac{1}{a}\int \frac{dx}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{a}\right)^2}}=\frac{1}{a}\int \frac{adu}{\sqrt{1-u^2}}\\ &=\arcsin u+C=\arcsin \frac{x}{a}+C\end{align*}\]
例8，求\(\displaystyle\int \tan^3 x\cdot \left(\sec x\right)^2 dx\)
解：令\(u=\tan x\)，则\(du=\sec^2 xdx\)
\[\int \tan^3 x\cdot \sec^2 x dx=\int u^3du=\frac{1}{4}u^4+C=\frac{1}{4}\tan^4 x+C\]
例9，求\(\displaystyle\int \frac{x}{1+x^2}dx\)
解：令\(u=x^2+1\)，则\(du=2xdx\)，\(xdx=\frac{1}{2}du\)
\[\int \frac{x}{1+x^2}dx=\frac{1}{2}\int \frac{1}{u}du=\frac{1}{2}\ln u+C=\frac{1}{2}ln(1+x^2)+C\]
例10，求\(\displaystyle\int \frac{dx}{x\ln x\cdot\ln(\ln x)}\)
解：令\(u=\ln(\ln x)\)，则\(\displaystyle du=\frac{dx}{x\ln x}\)，
\[\int \frac{dx}{x\ln x\cdot\ln(\ln x)}=\int \frac{du}{u}=\ln |u|+C=\ln |\ln(\ln x)|+C\]
例11，求\(\displaystyle\int \sin x\cos x dx\)
解：令\(u=\sin x\)，则\(du=\cos xdx\)
\[\int \sin x\cos x dx=\int udu=\frac{1}{2}u^2+C=\frac{1}{2}\sin^2 x+C\]
例12，求\(\int \sin^3 xdx\)
解：将被积函数变形为
\[\int \sin^3 xdx=\int \sin^2 x\sin x dx=\int (1-\cos^2 x)\sin xdx\]
现在可以令\(u=\cos x\)，则\(du=-\sin xdx\)
\[\int (1-\cos^2 x)\sin xdx=-\int (1-u^2)du=\frac{1}{3}u^3-u+C=\frac{1}{3}\cos^3 x-\cos x+C\]
2，我们说过第一类换元法的原则：哪部分最麻烦就换哪一部分。再来看一个比较特殊的例子，虽然不能明确知道换元以后是什么样，但是换了以后，就看出换元以后对积分的简化了。
例13，求\(\displaystyle\int \frac{\sin x+\cos x}{\sqrt[3]{\sin x-\cos x}}dx\)
解：令\(u=\sin x-\cos x\)，则\(du=(\cos x+\sin x)dx\)
\[\begin{align*}\int \frac{\sin x+\cos x}{\sqrt[3]{\sin x-\cos x}}dx&=\int \frac{du}{\sqrt[3]u}=\int u^{-\frac{1}{3}}du=\frac{3}{2}u^{\frac{2}{3}}+C\\ &=\frac{2}{3}(\sin x-\cos x)^{\frac{2}{3}}+C\end{align*}\]