第二类换元法还有其它的方法，这里我们列举一些。这些方法的基本思想是将被积函数简化，从而使积分更容易求出。
1，双曲代换：双曲代换类似于三角代换，实际上，能够应用三角代换的地方，大部分都能应用双曲代换。因为双曲函数也有平方和公式。
\[ x=\sinh t，dx=\cosh tdt\]
或者
\[ x=\cosh t, dx=\sinh tdt\]
所谓的双曲函数主要是这两个函数：\(\displaystyle \sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\)，\(\displaystyle \cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}\)。
它们分别称为双曲正弦函数与双曲余弦函数。当然还有双曲正切函数、双曲余切函数，它们的定义与正切函数与余切函数一样：
\[\tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}, \coth x=\frac{\cosh x}{\sinh x}\]
双曲函数的平方和公式为
\[\cosh^2x=\sinh^2x+1\]
反双曲函数的定义为：\(\displaystyle \sinh^{-1}x=\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\)，\(\displaystyle \cosh^{-1}x=\ln \left(x+\sqrt{x^2-1}\right)\)
例1，求\(\displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}\)
解：令\(x=a\cos ht\)，\(dx=a\sin htdt\)
则
\[\begin{align*} \int \frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}&=\int \frac{a\sin htdt}{\sqrt{a^2\cosh^2t-a^2}}\\ &=\int \frac{\sin ht}{\sin ht}dt=\int dt=t+C\end{align*}\]
代回原来变量：\(\displaystyle x=a\cosh t, \cosh t=\frac{x}{a}\)，由反双曲函数公式得到
\[ t=\cos h^{-1} \frac{x}{a}=\ln\left(\frac{x}{a}+\sqrt{\left(\frac{x}{a}\right)^2-1}\right)\]
因此，
\[\begin{align*}\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}&=\ln\left(\frac{x}{a}+\sqrt{\left(\frac{x}{a}\right)^2-1}\right)+C\\ & =\ln\left(\frac{x}{a}+\frac{1}{a}\sqrt{x^2-a^2}\right)+C\\ & =\ln\left(x+\sqrt{x^2-a^2}\right)-\ln a+C\\ & =\ln\left(x+\sqrt{x^2-a^2}\right)+C\end{align*}\]
这里 \(a\) 没有出现了，是因为 \(\ln a\) 也是一个常数，可以并入 \(C\) 里。
例2，求\(\displaystyle\quad\int \frac{dx}{\sqrt {x^2+a^2}}\)
解：令\(\quad x=a\sinh t\)，\(dx=a\cosh tdt\)，则
\[\begin{align*}\int\frac{dx}{\sqrt {x^2+a^2}}&=\int \frac{a\cosh tdt}{\sqrt {a^2\sinh^2t+a^2}} =\int dt\\ &=t+C =\sinh^{-1} \frac{x}{a}+C\\ &=\ln|x+\sqrt{x^2+a^2}|+C\end{align*}\]
2，例代换：另一个常用的第二类换元法是倒代换，就是做代换 \(\displaystyle\quad x=\frac{1}{t}, dx=-\frac{1}{t^2}dt\)
例3，求积分 \(\displaystyle\int \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x^4}dx\)
解：令\(x=\frac{1}{t}, dx=-\frac{1}{t^2}dt\)
则
\[\int \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x^4}dx=\int \frac{\sqrt{a^2-\frac{1}{t^2}}}{\frac{1}{t^4}}\cdot \left(-\frac{1}{t^2}\right) d=-\int t^2\cdot \sqrt{a^2-\frac{1}{t^2}}dt\]
由于\(\displaystyle\quad t>0,\quad x>0\)，所以
接\[-\int t^2\cdot \sqrt{a^2-\frac{1}{t^2}}dt=-\int t^2\cdot \sqrt{a^2-\frac{1}{t^2}}dt=-\int t\sqrt{a^2t^2-1} dt\]
令\(\displaystyle\quad u=a^2t^2-1\)，则\(\displaystyle\quad du=2a^2tdt\)，得到
\[\begin{align*}\int \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x^4}dx&=-\int t\sqrt{a^2t^2-1} dt=-\frac{1}{2a^2}\int \sqrt{u}du\\ &=-\frac{1}{2a^2}\cdot \frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}+C=-\frac{1}{3a^2}\left(a^2t^2-1\right)^{\frac{3}{2}}+C\\ &=-\frac{1}{3a^2}\left(\frac{a^2}{x^2}-1\right)^{\frac{3}{2}}+C=-\frac{1}{3a^2x^3}\left(a^2-x^2\right)^{\frac{3}{2}}+C\end{align*}\]
3，万能代换：也称为半角代换，就是做代换 \(\displaystyle\quad x=\tan \frac{t}{2}\)，\(\displaystyle\quad t=\tan \frac{x}{2}\)，这样的话，
\[\sin x=\frac{2\tan \frac{x}{2}}{1+\tan \frac{x}{2}}=\frac{2t}{1+t^2},\cos x=\frac{1-\tan^2 \frac{x}{2}}{1+\tan^2 \frac{x}{2}}=\frac{1-t^2}{1+t^2}\]
从而关于三角函数的代数函数 \(\displaystyle f(\sin x, \cos x)=f\left(\frac {2t}{1+t^2}, \frac{1-t^2}{1+t^2}\right)\) 就可以化成有理函数，而有理函数总是可以求出积分的。
要注意，虽然万能代换能将所有的三角函数化成有理函数，但有时候这个方法并不是最简单的方法。