微积分基本定理（牛顿-莱布尼兹公式）

这一节我们证明微积分里最重要最根本的一个定理：牛顿-莱布尼兹公式（牛顿-莱布尼兹定理），它深刻揭示了微分与积分之间的关系，所以这个定理也称为微积分基本定理。

1，定理（微积分基本定理，牛顿-莱布尼兹公式）：设 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，$F(x)$ 是它的一个原函数，则 $${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$$

证明：我们设 $g(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$，则由上一节的内容我们知道， $g(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数。所以由原函数之间的关系， $g(x)=F(x)+C$，从而

$$g(b)={\int }_a^{b}f(t)dt=F(b)+C$$

$$g(a)={\int }_a^{a}f(t)dt=0,g(a)=F(a)+C$$

所以 $C=-F(a)$，因而

$${\int }_a^{b}f(t)dt=F(b)+C=F(b)-F(a)$$证毕。

有了微积分基本定理之后 ，求定积分就变得异常简单了，我们求出被积函数的原函数以后，将积分的上、下限代入原函数，就得到了定积分的值。

例1：求积分 ${\displaystyle {\int }_{-2}^1{x}^{3}dx}$。

解：$${\int }_{-2}^1{x}^{3}dx=\frac{1}{4}{x}^4{|}_{-2}^1=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}(-2{)}^4=-\frac{15}{4}$$

例2：求积分 ${\displaystyle {\int }_{-1}^{\sqrt{3}}\frac{1}{1+x^2}dx}$。

解：$${\int }_{-1}^{\sqrt{3}}\frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x{|}_{-1}^{\sqrt{3}}=\frac{\pi }{3}-(-\frac{\pi }{4})=\frac{7\pi }{12}$$

例3：求曲线 $y=\cos x,0\le x\le \frac{\pi }{2}$ 下方的面积。

解：曲定积分的几何意义，我们知道，

$$A={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\cos xdx=\sin x{|}_0^{\frac{\pi }{2}}=1$$