非齐次线性方程组

这一节我们研究非齐次线性方程组的理论。我们先看一个例子。

例1：解线性方程组

${\begin{cases} x + 10 z = 5 \\ 3 x + y - 4 z = - 1 \\ 4 x + y + 6 z = 1 \end{cases}$

解：在之前的课程里我们说过了，解非齐次线性方程组，我们将它的增广矩阵做初等变换，相当于对方程组做高斯消元法。

$\begin{aligned} (A, \vec{b}) & = (\begin{array}{c} 1 & 0 & 10 & ⋮ & 5 \\ 3 & 1 & - 4 & ⋮ & - 1 \\ 4 & 1 & 6 & ⋮ & 1 \end{array}) \sim (\begin{array}{c} 1 & 0 & 10 & ⋮ & 5 \\ 0 & 1 & - 34 & ⋮ & - 16 \\ 0 & 1 & - 34 & ⋮ & - 19 \end{array}) \\ \sim (\begin{array}{c} 1 & 0 & 10 & ⋮ & 5 \\ 0 & 1 & - 34 & ⋮ & - 16 \\ 0 & 0 & 0 & ⋮ & - 3 \end{array}) \end{aligned}$

它所对应的方程组为

${\begin{cases} x + 10 z = 5 \\ y - 34 z = - 16 \\ 0 = - 3 \end{cases}$ 第三个方程说明了这个方程组是无解的。

相应的，我们给出下列的定义

1，定义：我们称方程组是

相容方程组：如果方程组有解；
不相容方程组：如果方程组无解。

对于非齐次线性方程组，我们有如下的结论：

2，定理（非齐次线性方程组有解无解的判定）：若

若 $R (A) < R (A, \vec{b})$ ，则方程组无解；
若 $R (A) = R (A, \vec{b}) < n$ ，则方程组有无穷多个解；
若 $R (A) = R (A, \vec{b}) = n$ ，则方程组有唯一解；

证明：（1）若 $R (A) < R (A, \vec{b})$ ，则增广矩阵的行阶梯矩阵最后一个非零行可化为 $(\begin{matrix} 0 & 0 & \dots & 0 & ⋮ & 1 \end{matrix})$ ，它对应的方程为 $0 = 1$ 不可能有解。

（2）若 $R (A) = R (A, \vec{b}) < n$ ，则所有方程都是相容的，并且有 $n - R (A)$ 个自由元。所以方程组有无穷多个解。

（3）若 $R (A) = R (A, \vec{b}) = n$ ，则方程组没有自由元。增广矩阵的行最简矩阵的形式为

$(A, \vec{b}) \sim (\begin{matrix} 1 & 0 & \dots & 0 & ⋮ & {\tilde{b}}_{1} \\ 0 & 1 & \dots & 0 & ⋮ & {\tilde{b}}_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & 1 & ⋮ & {\tilde{b}}_{n} \end{matrix})$

所以方程组有唯一解 $(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} {\tilde{b}}_{1} \\ {\tilde{b}}_{2} \\ ⋮ \\ {\tilde{b}}_{n} \end{matrix})$

由这个定理，如果我们只是确定一个方程组的解的情况，而不需要求出解的时候，我们只需要将增广矩阵化成行阶梯形就可以，不需要将增广矩阵化成行最简形。

我们先来求解一个方程组，然后利用上面的定理来确定方程组是否有解，有唯一解还是无穷多解。

例2：解线性方程组 $A \vec{x} = \vec{b}$ ，其中 $A = (\begin{matrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & - 2 & 4 \\ 3 & 8 & - 2 \\ 4 & - 1 & 9 \end{matrix}), \vec{b} = (\begin{matrix} 4 \\ - 5 \\ 13 \\ - 6 \end{matrix})$ 。

解：方程组的增广矩阵为

$\begin{aligned} (A, \vec{b}) & = (\begin{array}{c} 2 & 3 & 1 & ⋮ & 4 \\ 1 & - 2 & 4 & ⋮ & - 5 \\ 3 & 8 & - 2 & ⋮ & 13 \\ 4 & - 1 & 9 & ⋮ & - 6 \end{array}) \sim (\begin{array}{c} 1 & - 2 & 4 & ⋮ & - 5 \\ 2 & 3 & 1 & ⋮ & 4 \\ 3 & 8 & - 2 & ⋮ & 13 \\ 4 & - 1 & 9 & ⋮ & - 6 \end{array}) \\ \sim (\begin{array}{c} 1 & - 2 & 4 & ⋮ & - 5 \\ 0 & 7 & - 7 & ⋮ & 14 \\ 0 & 14 & - 14 & ⋮ & 28 \\ 0 & 7 & - 7 & ⋮ & 14 \end{array}) \sim (\begin{array}{c} 1 & - 2 & 4 & ⋮ & - 5 \\ 0 & 7 & - 7 & ⋮ & 14 \\ 0 & 0 & 0 & ⋮ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & ⋮ & 0 \end{array}) \\ \sim (\begin{array}{c} 1 & - 2 & 4 & ⋮ & - 5 \\ 0 & 1 & - 1 & ⋮ & 2 \\ 0 & 0 & 0 & ⋮ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & ⋮ & 0 \end{array}) \sim (\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & ⋮ & - 1 \\ 0 & 1 & - 1 & ⋮ & 2 \\ 0 & 0 & 0 & ⋮ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & ⋮ & 0 \end{array}) \end{aligned}$

所以方程组的解为（参见如何快速地写出方程组的解？）

$(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) = C (\begin{matrix} - 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix})$

现在我们来看方程组有解无解的判定。

例3：问 $a$ 取何值时，方程组 ${\begin{cases} - 2 x_{1} + x_{2} + x_{3} = - 2 \\ x_{1} - 2 x_{2} + x_{3} = a \\ x_{1} + x_{2} - 2 x_{3} = a^{2} \end{cases}$ 有解？并求它的通解。

解：我们将方程的增广矩阵的第一、第二行加到第三行去

$\begin{aligned} A, \vec{b} & = (\begin{array}{c} - 2 & 1 & 1 & ⋮ & - 2 \\ 1 & - 2 & 1 & ⋮ & a \\ 1 & 1 & - 2 & ⋮ & a^{2} \end{array}) \sim (\begin{array}{c} - 2 & 1 & 1 & ⋮ & - 2 \\ 1 & - 2 & 1 & ⋮ & a \\ 0 & 0 & 0 & ⋮ & a^{2} + a - 2 \end{array}) \end{aligned}$

第一、第二行不成比例，所以系数矩阵的秩为 $R (A) = 2$ ，若方程组有解，则必有 $a^{2} + a - 2 = 0$ ，即 $a = - 2, 1$ 。而且方程组有无穷多个解。

若 $a = - 2$ ，则

$\begin{aligned} (A, \vec{b}) & \sim (\begin{array}{c} - 2 & 1 & 1 & ⋮ & - 2 \\ 1 & - 2 & 1 & ⋮ & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & ⋮ & 0 \end{array}) \sim (\begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 & ⋮ & - 2 \\ - 2 & 1 & 1 & ⋮ & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & ⋮ & 0 \end{array}) \\ \sim (\begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 & ⋮ & - 2 \\ 0 & - 3 & 3 & ⋮ & - 6 \\ 0 & 0 & 0 & ⋮ & 0 \end{array}) \sim (\begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 & ⋮ & - 2 \\ 0 & 1 & - 1 & ⋮ & 2 \\ 0 & 0 & 0 & ⋮ & 0 \end{array}) \sim (\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & ⋮ & 2 \\ 0 & 1 & - 1 & ⋮ & 2 \\ 0 & 0 & 0 & ⋮ & 0 \end{array}) \end{aligned}$

所以方程组的通解为 $(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) = C (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{matrix})$

若 $a = 1$ ，则

$\begin{aligned} (A, \vec{b}) & \sim (\begin{array}{c} - 2 & 1 & 1 & ⋮ & - 2 \\ 1 & - 2 & 1 & ⋮ & 1 \\ 0 & 0 & 0 & ⋮ & 0 \end{array}) \sim (\begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 & ⋮ & 1 \\ - 2 & 1 & 1 & ⋮ & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & ⋮ & 0 \end{array}) \\ \sim (\begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 & ⋮ & 1 \\ 0 & - 3 & 3 & ⋮ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & ⋮ & 0 \end{array}) \sim (\begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 & ⋮ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 & ⋮ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & ⋮ & 0 \end{array}) \sim (\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & ⋮ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 & ⋮ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & ⋮ & 0 \end{array}) \end{aligned}$

所以方程组的通解为 $(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) = C (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$

例4，问 $a, b$ 取何值时，方程组 ${\begin{cases} x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 0 \\ x_{2} + 2 x_{3} + 2 x_{4} = 1 \\ - x_{2} + (a - 3) x_{3} - 2 x_{4} = b \\ 3 x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} + a x_{4} = - 1 \end{cases}$ （1）无解；（2）有唯一解；（3）无穷个解？并求通解。

解：增广矩阵为

$\begin{aligned} (A, \vec{b}) & = (\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & ⋮ & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 2 & ⋮ & 1 \\ 0 & - 1 & a - 3 & - 2 & ⋮ & b \\ 3 & 2 & 1 & a & ⋮ & - 1 \end{array}) \sim (\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & ⋮ & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 2 & ⋮ & 1 \\ 0 & 0 & a - 3 & - 2 & ⋮ & b \\ 0 & - 1 & - 2 & a - 3 & ⋮ & - 1 \end{array}) \sim (\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & ⋮ & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 2 & ⋮ & 1 \\ 0 & 0 & a - 1 & 0 & ⋮ & b + 1 \\ 0 & 0 & 0 & a - 1 & ⋮ & 0 \end{array}) \end{aligned}$

（1）若 $a - 1 = 0, b + 1 \neq 0$ ，则 $R (A) = 2 \< R (A, \vec{b}) = 3$ ，方程组无解。即若 $a = 1, b \neq - 1$ ，方程组无解；

（2）若 $a \neq 1$ ，则 $R (A) = R (A, \vec{b}) = 3$ ，方程组有唯一解。

（3）若 $a = 1, b = - 1$ ，则 $R (A) = R (A, \vec{b}) = 2$ ，方程组有无穷多个解。这时候

$\begin{aligned} (A, \vec{b}) & \sim (\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & ⋮ & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 2 & ⋮ & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ⋮ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ⋮ & 0 \end{array}) \sim (\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & - 1 & ⋮ & - 1 \\ 0 & 1 & 2 & 2 & ⋮ & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ⋮ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ⋮ & 0 \end{array}) \end{aligned}$

所以我们得到方程组的通解

$(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{matrix}) = C_{1} (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + C_{2} (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$