对一些特殊的函数，例如幂指函数，或者乘、除、指数特别多的函数，用通常的求导法来求导数，可能会有一些困难，要么是没有可用的公式，要么就是太复杂，这时候，对数求导法就比较好的解决了这个问题。
对数求导法的方法是将函数两边同时取对数，利用对数函数的性质与运算规律，可以将幂指函数化成函数的积，将函数的乘除化成加减，然后利用隐函数求导法来求导，从而大大简化了求导的过程。
对于幂指函数来说，它们的导数可以通过对数求导法来求，也可以通过复合函数求导法则来求。我们看看如何使用这两种方法来求幂指函数的导数。
例1：求 \(y=x^{\sin x}\) 的导数。
解：我们用两种方法来求这个函数的导数。
（I）用复合函数的求导法则。这个函数我们不能直接应用复合函数的求导法则来求，那是因为它即不是幂函数，也不是指数函数。所以它的复合规则不是幂函数与指数函数的复合。如果要应用复合函数的求导法则，就要先弄懂它的复合规则。
我们将这个函数变形，取 \(e\) 底再取对数，\[y=x^{\sin x}=e^{\ln (x^{\sin x})}=e^{\sin x\ln x}\]现在我们可以就用复合函数求导法则，这是一个指数函数的复合函数。
\[y’=\left(e^{\sin x\ln x}\right)’=e^{\sin x\ln x}(\sin x\ln x)’=e^{\sin x\ln x}(\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x})\]
我们再用对数求导法来求这个函数的导数。
（II）对数求导法。对函数两边取对数，我们有\[\ln y=\sin x\ln x\]两边对 \(x\) 求导，将 \(y\) 看成是 \(x\) 的函数，应用隐函数求导法则， 我们有
\[\frac{1}{y}y’=\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x}\]两边同乘以 \(y\)，就有\[y’=y(\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x})\]将 \(y\) 的表达式代进去，就得到了\[y’=x^{\sin x}(\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x})\]
我们现在看另外一种题型。
例2：设 \[y=\frac{\sqrt[3]{3x^2-5}\sqrt[5]{2x+7}}{\sqrt[4]{x+3}\sqrt{x^2-2x-1}}\]求 \(y’\)。
解：这个函数虽然可以用商的求导法则来求，但是那样的话，就太复杂了。如果使用对数求导法，会大大简化计算过程。
我们对函数两边取对数，利用对数函数的性质，我们有
\[\ln y=\frac{1}{3}\ln(3x^2-5)+\frac{1}{5}\ln(2x+7)-\frac{1}{4}\ln(x+3)-\frac{1}{2}\ln(x^2-2x-1)\]
两边对 \(x\) 求导，将 \(y\) 看成是 \(x\) 的函数，就得到了\[\begin{align*}\frac{1}{y}y’&=\frac{1}{3}\cdot\frac{6x}{3x^2-5}+\frac{1}{5}\cdot\frac{2}{2x+7}-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x+3}-\frac{1}{2}\cdot\frac{2x-2}{x^2-2x-1}\\&=\frac{2x}{3x^2-5}+\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{2x+7}-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x+3}-\frac{x-1}{x^2-2x-1}\end{align*}\]
两边乘以 \(y\)，再把 \(y\) 的表达式代进去，就求出了导数 \[y’=\frac{\sqrt[3]{3x^2-5}\sqrt[5]{2x+7}}{\sqrt[4]{x+3}\sqrt{x^2-2x-1}}\left(\frac{2x}{3x^2-5}+\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{2x+7}-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x+3}-\frac{x-1}{x^2-2x-1}\right)\]
例3：\(y=\frac{(x+1)^5(x+2)^7}{(x+3)^4(x+4)^6}\)，求 \(y’\)。
解：两边取对数，我们有\[\ln y=5\ln(x+1)+7\ln(x+2)-4\ln(x+3)-6\ln(x+4)\]两边对 \(x\) 求导，就得到了 \[\begin{align*}\frac{1}{y}y’=\frac{5}{x+1}+\frac{7}{x+2}-\frac{4}{x+3}-\frac{6}{x+4}\end{align*}\] 两边乘以 \(y\)，再将 \(y\) 的表达式代入，就得到了\[y’=\frac{(x+1)^5(x+2)^7}{(x+3)^4(x+4)^6}\left(\frac{5}{x+1}+\frac{7}{x+2}-\frac{4}{x+3}-\frac{6}{x+4}\right)\]