利用函数的二阶导数可以判定函数的凹凸区间与拐点。二阶导数为正，则函数是凹的；二阶导数为负，则函数是凸的。而在某点左右，二阶导数变号，则该点为函数的拐点。
1，凹凸性的定义：关于函数曲线的凹凸性的定义有好几种。我们列举如下 ：
我们称曲线是凹的，有以下几种定义：
- 曲线的切线在曲线下方；
- 曲线切线的斜率是增加的；
- 曲线上连接两点的线段在曲线上方。
同样，我们称曲线是凸的，也有几种定义：
- 曲线的切线在曲线上方；
- 曲线切线的斜率是减少的；
- 曲线上连接两点的线段在曲线下方。
2，定义：对于曲线凹凸性的定义，我们采用第二种方法。
若在某个区间内，曲线的切线斜率增加， 我们称曲线在此区间是“凹”的（开口朝上）；若某个区间曲线的切线斜率减少，我们称曲线在该区间内是“凸”的（开口朝下）。
3，由上面的定义，我们可以用函数的二阶导数来判断函数的凹凸性。
定理：若函数在某区间内二阶可导， \(f^{\prime\prime}(x)>0\)，则函数在此区间上是凹的；若\(f^{\prime\prime}(x)<0\)，则函数在此区间上是凸的。
证明：由以上的定义可以直接得到结论。因为 \(f^{\prime\prime}(x)=(f'(x))’\)，所以若二阶导数为正，则一阶导数增加，函数曲线为凹；若二阶导数为负，则一阶导数减少，函数曲线为凸。
4，拐点：若函数在一点 \((x_0,f(x_0))\) 左右二阶导数变号，则我们称点 \((x_0,f(x_0))\) 为函数的拐点（凹凸性改变的点）。
拐点可能的点：二阶导数为 \(0\) 的点与二阶导数不存在的点。
例1：设 \(f(x)=2x^3+3x^2-12x+14\) 的凹凸区间与拐点。
解：函数的一、二阶导数为\[f'(x)=6x^2+6x-12,\quad f^{\prime\prime}(x)=12x+6=6(2x+1)\]令二阶导数为 \(0\)，则 \(x=-\frac{1}{2}\)。
当 \(x<-\frac{1}{2}\) 时， \(f^{\prime\prime}(x)<0\)，函数是凸的；当 \(x>-\frac{1}{2}\) 时，\(f^{\prime\prime}(x)>0\)，函数是凹的。
\((-\frac{1}{2},f(-\frac{1}{2})=(-\frac{1}{2}, \frac{41}{2})\) 是函数的拐点。