我们从求曲边梯形的面积开始，导出定积分的概念。
1，曲边梯形的面积： 我们假设一个曲边梯形的顶部由一条曲线 \(y=f(x), a\le x\le b\) 给出，如何求这个曲边梯形的面积？
现阶段，我们没有直接的方法求得这种曲边梯形的面积。但我们有办法求得这种曲边梯形面积的近似值。我们将区间 \([a,b]\) 用点 \(a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_n=b\) 划分成一个个很小的子区间，在每一个区间上，我们用长方形的面积来近似曲边梯形的面积:
在区间 \([x_{i-1},x_i]\) 内任取一点 \(\xi_i\)，那么这个区间上的曲边梯形的面积 \[\Delta A_i\approx f(\xi_i)\Delta x_i\]
将所有的这些小长方形的面积加起来，我们就得到了整个曲边梯形的面积的近似值：
\[A=\sum_{i=1}^n\Delta A_i\approx\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i\]
当我们将区间越划越细时，也就是当所有的区间长度趋近于 \(0\) 时，这个和式的极限就是曲边梯形面积的精确值，也就是 \[A=\lim_{\Delta x\to 0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i\]这里 \(\Delta x\) 是所有这些小区间中长度的最大的那个区间的长度，即 \(\Delta x=\max_{1\le i\le n}\Delta x_i\)。
2，定积分的定义：上面求曲边梯形的面积的公式太复杂，写起来一大堆，我们用一个符号 \(\displaystyle\int_a^b\)代表和式的极限，就是
\[\int_a^bf(x)dx=\lim_{\Delta x\to 0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i\]
我们称之为区间 \([a,b]\) 上的定积分。\(\int\) 称为积分号，\(a,b\) 分别叫做积分下、上限，\(f(x)\) 称为被积函数， \(x\) 称为积分变量。
通常我们还称 \(\displaystyle \sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i\) 为函数的黎曼和，或者积分和。若上面的极限存在，我们称函数在区间 \([a,b]\) 上可积。
注意：从定积分的定义来看，积分的值与被积变量无关，只与被积函数与积分区间有关。也就是说，积分使用什么变量没关系，只要 \(f\) 与 \(a,b\) 相同，积分值是相同的，即
\[\int_a^bf(x)dx=\int_a^bf(u)du=\int_a^bf(t)dt\]
3，变速直线运动的路程：设物体沿直线作变速直线运动，它的速度为 \(v(t)\)，我们计算它在时间段 \([a,b]\) 内运动的路程。
因为是变速直线运动，我们不能用速度乘以时间的方式得到运动的路程。首先，我们计算它的近似值。将时间段 \([a,b]\) 划分成非常短的子段，在每一个子段上，速度近似于常数，在每一个子段了，取任一时间点的速度 \(v(\xi_i), t_{i-1}\le \xi_i\le t_i\)，作为整个时间段的速度，我们就得到了每一个子段内路程的近似值
\[\Delta s_i\approx v(\xi_i)\Delta t_i\]
整个时间段内的路程的近似值为
\[s=\sum_{i=1}^n\Delta s_i\approx \sum_{i=1}^nv(\xi_i)\Delta t_i\]
时间段划分得越细，则近似值越接近于精确值，于是当每一子段的长度趋于 \(0\) 时，它的极限值就是路程的精确值，即 \[s=\lim_{\Delta t\to 0}\sum_{i=1}^nv(\xi_i)\Delta t_i\]
其中 \(\Delta t\) 为所有子段中，长度最长的那一段。
这里我们又看到了和式的极限，如前面曲边梯形的面积一样，我们就得到了定积分的概念。
\[s=\int_a^bv(t)dt\]
4，可积函数类：常见的两类函数是可积的
- 区间上的连续函数是可积的；
- 区间上只有有限个间断点的有界函数是可积的。
这里我们不去深入地讨论可积函数类。如果有兴趣，可以参考数学分析的相关书箱。
现在我们用刚才的定义来求一个定积分。
例1：用定积分的定义求积分 \(\displaystyle\int_0^1x^2dx\)。
解：我们将区间分成 \(n\) 等分，则分点依次为 \(x_0=0, x_1=\frac{1}{n}, \cdots, x_{i}=\frac{i}{n},\cdots, x_n=1\)。每一个区间长度为 \(\Delta x_i=\frac{1}{n}\)。
我们取 \(\xi_i=x_{i-1}\)，就是每一个区间的左端点，那么
\[\begin{align*}\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i&=\sum_{i=1}^n(\frac{i-1}{n})^2\frac{1}{n}=\sum_{i=0}^{n-1}(\frac{i}{n})^2\frac{1}{n} \\&=\frac{1}{n^3}\sum_{i=0}^{n-1}i^2=\frac{1}{n^3}\cdot \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}\end{align*}\]
这里我们应用了等式 \(\displaystyle\sum_{i=0}^n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)。在上式中， 令 \(\Delta x\to 0\)，就是 \(n\to\infty\)，我们得到了
\[\int_0^1x^2dx=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^3}\cdot \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}=\frac{1}{3}\]