行列式的另一种定义方式为逆序法定义。
1，全排列： \(n\) 个数排成一列，称为这 \(n\) 个数的一个排列。\(n\) 个数的排列有 \(n!\) 种排列。例如 \((1,2,3)\) 这三个数有 \(3!=6\) 种排列：
\[(1,2,3), (1,3,2), (2,1,3),(2,3,1), (3,1,2),(3,2,1)\]
2，逆序：排列中如果一个数的前面有一个数比它大，就称为一个逆序。排列中所有逆序之和称为逆序数。
例如排列 \((3,2,1)\) 有 \(3\) 个逆序。因为 \(2\) 的前面有一个 \(3\) 比它大，这是一个逆序，而 \(1\) 前面有两个数比它大，它有 \(2\) 个逆序，所以这个排列共有 \(3\) 个逆序。
3，奇排列与偶排列：逆序数为奇数的排列为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。
4，\(n\) 阶行列式的定义。我们定义 \(n\) 阶行列式为
\[|A|=\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nn}=\sum_{t\in P}(-1)^ta_{1j_1}a_{1j_2}\cdotsa_{1j_n}\end{vmatrix}\]
这里，\(P\) 是 \(1,2,\cdots,n\) 的所有排列数，\(j_1, j_2, \cdots, j_n\) 是 \(1,2,\cdots, n\) 的一个排列， \(t\) 是这个排列的逆序数。
例如，二阶行列式，\(n=2\)，它的排列只有两种，\((1,2)\) 和 \((2,1)\)，由我们刚才的定义
\[|A|=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}=(-1)^ta_{11}a_{22}+(-1)^ta_{12}a_{21}\]
我们去看每一项每个数字的下标，第一项下标，第一个为 \(1\)，第二个为 \(2\)，所以它的逆序数为 \(0\)；第二项，第一个数字第二个下标为 \(2\)，第二个数字的第二个下标为 \(1\)，所以它的逆序数为 \(1\)。所以
\[|A|=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}=(-1)^ta_{11}a_{22}+(-1)^ta_{12}a_{21}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\]
三阶行列式类似定义，它有 \(6\) 项，因为三个数的排列有 \(3!=6\) 种。而四阶行列式有 \(4!=24\) 项。我们就不一一列举了。