空间平面的方程

空间平面的方程，我们可以通过平面上的一点以及它的法向量确定，这就是平面 的点法式方程。

假设平面 $\mathrm{\Pi }$过点 $(x_0,y_0,z_0)$ 且垂直于向量 $\overrightarrow{n}=(A,B,C)$，我们看一下如何推导出平面的方程。

我们知道平面的法向量是 $\overrightarrow{n}=(A,B,C)$，那么平面上任何一个向量都垂直于法向量。现设平面上任意一点的坐标为 $(x,y,z)$，那么 这一点与已知一点$(x_0,y_0,z_0)$ 可确定一个平面上的向量 $(x-x_0,y-y_0,z-z_0)$，它与法向量垂直，根据向量垂直的充分必要条件是两向量的内积为零，所以

$$(x-x_0,y-y_0,z-z_0)\cdot (A,B,C)=0$$

这就是平面的点法式方程。我们它展开后，就得到

$$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$$这也叫平面的点法式方程。

我们可以再把点法式方程展开，我们可以把平面的方程写成如下的形式：

$$Ax+by+Cz=D$$其中 $D=A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0$，这种形式的方程就称为平面的一般式方程。

在一般式方程里，将两边除以 $D$，就得到了平面的截距式方程：

$$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$$这里 $a,b,c$就是平面在三个坐标轴上的截距。

对于平面方程的求法，我们只需要知道平面上的一点与它的法向量，就可以求出它的方程。但很多时候，这些信息不会直接给出，就需要我们来找到这些信息。我们来看一些求平面方程的例子。

例1：设平面过点 $(2,0,1)$ 且垂直于过两点 $(1,1,0)$ 和 $(4,-1,2)$的直线，求该平面的方程。

解：我们已经知道平面上的一点。但没有直接给出法向量，但是平面垂直于一直线，很显然，这个直线的方向向量就可以作为平面的法向量。这条直线过两点，所以两点组成的向量就是直线 的方向向量。所以我们可以取

$$\overrightarrow{n}=(4,-1,2)-(1,1,0)=(3,-2,2)$$由平面的点法式方程，我们得到平面的方程为

$$3(x-2)-2y+2(z-1)=0$$

例2：某平面过点 $P(1,3,2),Q(3,-1,6)$ 和 $R(5,2,0)$，求该平面的方程。

解：我们知道三点可以确定两个向量，这两个向量都在平面上。那么平面的法向量怎么求？

我们知道两个向量的叉积同时垂直于这两个向量，所以如果知道平面上的两个向量，那么对这两个向量作叉积，就可以得到平面的法向量了。

我们有$$\overrightarrow{PQ}=(2,-4,4),\overrightarrow{PR}=(4,-1,-2)$$所以平面的法向量可以取

$$\overrightarrow{n}=\overrightarrow{PQ}\times \overrightarrow{PR}=\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k}\\ 2& -4& 4\\ 4& -1& -2\end{array}\right|=(12,20,14)$$所以平面的方程为

$$12(x-1)+20(y-3)+14(z-2)=0$$整理一下，方程可写成$$6(x-1)+10(y-3)+7(z-2)=0$$

在最后，我们定义两平面的夹角。两平面之间的夹角定义为它们法向量之间的夹角。即$$\cos \theta =\frac{\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}}{|\overrightarrow{n_1}|\cdot |\overrightarrow{n_2}|}$$