正项级数的积分判别法

1，正项级数：若 $a_n\ge 0$，则称级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$ 为正项级数。

正项级数的积分判别法是一种基本的判定级数是否收敛的一种方法。我们有如下的定理。

2，定理（正项级数的积分判别法）：若 $f(x)$ 是一个单调递减的函数，$f(x)\ge 0,a_n=f(n)$，则 ${\displaystyle {\int }_1^{\mathrm{\infty }}f(x)dx}$ 和 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$ 同敛散。就是它们同时收敛或者同时发散。

证明：我们将 $(1,\mathrm{\infty })$ 划分成长度为 1 的区间，那么 ${\int }_n^{n+1}dx=1$，所以

$$\begin{array}{rl}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n& ={\int }_1^2{a}_{1}dx+{\int }_2^3{a}_{2}dx+\cdots +{\int }_n^{n+1}{a}_{n}dx+\cdots \\ & ={\int }_1^{2}f(1)dx+{\int }_2^{3}f(2)dx+\cdots +{\int }_n^{n+1}f(n)dx+\cdots \\ & \ge {\int }_1^{2}f(x)dx+{\int }_2^{3}f(x)dx+\cdots +{\int }_n^{n+1}f(x)dx+\cdots \\ & ={\int }_1^{\mathrm{\infty }}f(x)dx\end{array}$$

这里不等式成立是因为 $f(x)$ 单调减少，所以在 $(n,n+1)$ 区间上， $f(x)\ge f(n)$。又

$$\begin{array}{rl}\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}{a}_n& ={\int }_1^2{a}_{2}dx+{\int }_2^3{a}_{3}dx+\cdots +{\int }_n^{n+1}{a}_{n+1}dx+\cdots \\ & ={\int }_1^{2}f(2)dx+{\int }_2^{3}f(3)dx+\cdots +{\int }_n^{n+1}f(n+1)dx+\cdots \\ & \le {\int }_1^{2}f(x)dx+{\int }_2^{3}f(x)dx+\cdots +{\int }_n^{n+1}f(x)dx+\cdots \\ & ={\int }_2^{\mathrm{\infty }}f(x)dx\end{array}$$

这就是 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\le a_1+{\int }_1^{\mathrm{\infty }}f(x)dx}$。所以我们可以得到 $${\int }_1^{\mathrm{\infty }}f(x)dx\le \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\le a_1+{\int }_1^{\mathrm{\infty }}f(x)dx$$

从而 ${\displaystyle {\int }_1^{\mathrm{\infty }}f(x)dx}$ 与 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$ 同敛散。

例1，${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2+1}}$ 收敛。因为这里 $f(x)=\frac{1}{n^2+1}$，而 $${\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^2+1}dx=\arctan x{|}_1^{\mathrm{\infty }}=\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}$$

所以级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2+1}}$ 收敛。

例2，讨论 p-级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^p}}$ 的敛散性。

解：当 $p=1$ 时，${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^p}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}}$ 是调和级数，发散。

当 $p\ne 1$ 时，

$$\begin{array}{rl}{\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^p}dx& ={\int }_1^{\mathrm{\infty }}{x}^{-p}dx=\frac{1}{1-p}{x}^{1-p}{|}_1^{\mathrm{\infty }}\\ & =\{\begin{array}{ll}\frac{1}{1-p}\cdot \frac{1}{x^{p-1}}{|}_1^{\mathrm{\infty }},& p>1\\ \frac{1}{1-p}{x}^{1-p},& p<1\end{array}\\ & =\{\begin{array}{ll}\frac{1}{1-p},& p>1\\ \mathrm{\infty },& p<1\end{array}\end{array}$$

所以级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^p}}$ 当 $p>1$ 时收敛，$p\le 1$ 时发散。

例3，讨论级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n{e}^{-n^2}}$ 收敛还是发散。

解：因为 $${\int }_1^{\mathrm{\infty }}x{e}^{-x^2}dx=-\frac{1}{2}{e}^{-x^2}{|}_1^{\mathrm{\infty }}=\frac{1}{2}{e}^{-1}$$

所以级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n{e}^{-n^2}}$ 收敛。