幂级数的收敛半径与收敛域

1，定理：幂级数 ${\displaystyle \sum a_n(x-C{)}^n}$ 只有三种情况：

（1）级数只在 ${\displaystyle x=C}$ 处收敛${\displaystyle \Rightarrow R=0}$

（2）级数在所有 ${\displaystyle x\in R}$ 处收敛${\displaystyle \Rightarrow R=\mathrm{\infty }}$

（3）${\displaystyle |x-C|<R}$ 处收敛，${\displaystyle |x-C|>R}$ 处发散

2，${\displaystyle R}$ 叫做收敛半径，若级数在${\displaystyle (-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })}$ 上收敛，记为 ${\displaystyle R=\mathrm{\infty }}$

所有收敛点的集合叫做收敛域。

3，求收敛半径和收敛域

（1）${\displaystyle R}$ ：比值判别法${\displaystyle |x-C|<?}$

（2）收敛域：考察端点处的敛散性（也叫收敛区间）

例1，求级数 ${\displaystyle \sum (-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}}$ 的收敛半径和收敛域

解：（1）记 ${\displaystyle u_n=(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}}$，

$$\begin{array}{r}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}|\frac{u_{n+1}}{u_n}|=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}|\frac{\frac{x^{n+1}}{n+1}}{\frac{x^n}{n}}|=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}|x|\cdot |\frac{n}{n+1}|=|x|\end{array}$$

当 ${\displaystyle |x|<1}$ 时收敛${\displaystyle \Rightarrow }$收敛半径 ${\displaystyle R=1}$

（2）${\displaystyle x=-1}$ 时，

${\displaystyle \sum (-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}=\sum (-1{)}^{n-1}\cdot \frac{(-1{)}^n}{n}=-\sum \frac{1}{n}}$ 发散

${\displaystyle x=-1}$ 时，由交错级数判别法，

${\displaystyle \sum (-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}=\sum (-1{)}^{n-1}\frac{1}{n}}$ 收敛。

（3）所以收敛域为：${\displaystyle (-1,1]}$

例2，求级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n-1}}{(2n-1)!}}$ 的收敛半径和收敛域。

解：这里 $u_n=\frac{(-1{)}^n{x}^{2n-1}}{(2n-1)!}$，所以

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=\left|\frac{(-1{)}^{n=1}{x}^{2n+1}}{(2n+1)!}/\frac{(-1{)}^n{x}^{2n-1}}{(2n-1)!}\right|=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left|\frac{x^2}{(2n+1)(2n)}\right|=0$$

所以$R=\mathrm{\infty }$，收敛敛域为 $(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$。

例3：求级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2n-1}{2^2}{x}^{2n-2}}$ 的收敛半径与收敛域。

解：这里 $u_n=\frac{2n-1}{2^n}{x}^{2n-2}$，所以

$$\begin{array}{rl}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left|\frac{2n+1}{2^{n+1}}{x}^{2n}/\frac{2n-1}{2^n}{x}^{2n-2}\right|\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}|\frac{x^2}{2}\cdot \frac{2n+1}{2n-1}|=\frac{|x^2|}{2}<1\end{array}$$

所以 $|x|<\sqrt{2}$，也就是说收敛半径为 $R=\sqrt{2}$。

当 $x=\pm \sqrt{2}$ 时， ${\displaystyle u_n=\frac{2n-1}{2^n}(\pm {\sqrt{)}}^{2n-2}=\frac{2n-1}{2}}$，而 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2n-1}{2}=\mathrm{\infty }$，级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n}$ 发散。

所以级数的收敛域为 $(-\sqrt{2},\sqrt{2})$。

4，如果级数的一般项的指数是 $n$，也就是对级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n}$ 来说， $R=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left|\frac{a_n}{a_{n-1}}\right|$。

证明：$u_n=a_n{x}^n$，

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left|\frac{a_{n+1}{x}^{n+1}}{a_n{x}^n}\right|=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right||x|<1$$

所以 $|x|<\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$，也就是说 $R=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$。

例4：求级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(n^2+1)3^n}{x}^n}$。

解：$$\begin{array}{rl}R& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left|\frac{1}{(n^2+1)3^n}/\frac{1}{((n+1{)}^2+1)3^{n+1}}\right|\\ & \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}|\frac{(n+1{)}^2+1}{n^2+1}\cdot \frac{3^{n+1}}{3^n}|=3\end{array}$$

所以级数的收敛半径为 $R=3$。