几何分布的模型是这样的：如果每次试验成功的概率为 \(p\)，那么我们重复进行这样的试验，直到成功一次为止，那么试验次数的分布服从几何分布。如果稍微对它的改动一下：直到成功 \(k\) 次，那么试验次数就服从负二项式分布。
1，几何分布：试验成功即止，那么试验次数的分布服从几何分布
\[P(X=n)=(1-p)^{n-1}p, n=1,2,\cdots\]
这里 \(p\) 是每次试验成功的概率。
2，负二项分布：成功 \(k\) 次即止，则试验次数服从负二项分布
\[P(X=n)=C_{n-1}^{k-1}(1-p)^{n-k}p^k, n=k,k+1\cdots\]
我们可以这样推导：前面 \(n-1\) 次中，成功 \(k-1\) 次，失败 \(n-1-(k-1)=n-k\) 次，所以概率为 \(C_{n-1}^{k-1}p^{k-1}(1-p)^{n-k}\)，而最后一次成功，所以试验 \(n\) 次的概率为\[P(X=n)=C_{n-1}^{k-1}(1-p)^{n-k}p^k\]
例1，一射击手击中目标的概率为 \(0.7\)，现重复射击，问（1）击中即止；（2）击中 5 次即止，求射击次数的分布。
解：（1）这是几何分布，所以
\[P(X=n)=0.7^{n-1}0.3\]
（2）这里负二项分布，所以
\[P(X=n)=C_{n-1}^40.7^50.3^{n-5}\]
例2，袋中有 6 个红球，4 个白球，每次取一个，放回，问（1）取到一次白球即止；（2）取到 3 次白球即止。设 \(X\) 为取球次数，求 \(X\) 的分布律。
解：（1）每次取到白球的概率为 \(0.4\)，所以
\[P(X=n)=0.6^{n-1}0.4, n=1,2,\cdots\]
（2）取到 3 次即止，
\[P(X=n)=C_{n-1}^{2}0.4^30.6^{n-3}, n=3,4,\cdots\]