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复数及其代数运算

复数的加、减、乘、除等运算法则。

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1，虚数单位：我们定义 i=−1，我们称之为虚数单位。

2，复数：若 x,y∈R 都是实数，则称 z=x+iy 为一个复数。若 x=0 则称 z=iy 为一个纯虚数。

3，若 z=x+iy，则称 x=Rez 为 z 的实部； y=Imz 为 z 的虚部。

4，复数的四则运算：我们定义复数的四则运算

  • z1+z2=(x1+iy1)+(x2+iy2)=(x1+x2)+i(y1+y2);
  • z1+z2=(x1+iy1)−(x2+iy2)=(x1−x2)+i(y1−y2);
  • z1⋅z2=(x1x2−y1y2)+i(x1y2+y1x2)，因为z1⋅z2=(x1+iy1)⋅(x2+iy2)=x1x2+ix2y1+iy1x2+i2y1y2=x1x2+i(x2y1+y1x2)−y1y2=(x1x2−y1y2)+i(x1y2+y1x2);
  • z2z1=x1x2+y1y2x12+y12+ix2y1−x1y2x12+y12，因为z2z1=x2+iy2x1+iy1=(x2+iy2)⋅(x1−iy1)(x1+iy1)⋅(x1−iy1)=(x1x2+y1y2)+i(x2y1−x1y2)x12+y12=x1x2+y1y2x12+y12+ix2y1−x1y2x12+y12

5，共轭复数：若 z=x+iy，则 z¯=x−iy 称为 z 的共轭复数。

6，模：|z|=(zz¯)12 称为复数 z 的模。

例1：设 z1=2−3i,z2=4+i，求 z1⋅z2,z1z2,|z1|。

解：z1⋅z2=(2−3i)⋅(4+i)=8−12i+2i+3=11−10i

z1z2=2−3i4+i=(2−3i)(4−i)(4+i)(4−i)=8−12i−2i−316+1=5−14i17=517−1417i

|z1|=(2−3i)(2+3i)=4+9=13

例2：若 z=x+iy,xy∈R，求 1z¯,z2,1+z1−z。

解：（1）1z¯=1x−iy=x+iy(x−iy)(x+iy)=x+iyx2+y2=xx2+y2+iyx2+y2

（2）z2=(x+iy)(x+iy)=x2+2ixy−y2=x2−y2+2ixy

（3）1+z1−z=1+x+iy1−x−iy=(1+x+iy)(1−x+iy)(1−x−iy)(1−x+iy)=(1+iy)2−x2(1−x)2+y2=1+2iy−y2−x2(1−x)2+y2=1−x2−y2(1−x)2+y2+i2y(1−x)2+y2