柯西-古萨定理的证明（一）

柯西-古萨定理的证明分成三步：第一步，区域上的解析函数在区域内的任意一个三角形边界上积分为 $0$ ；第二步，在区域内的任意多边形上证明此定理；第三步，在区域内的任意一条简单闭曲线上证明此定理。

这一节，我们证明的是第一步，在区域内的任意一个三角形边界上证明此定理。

柯西-古萨定理的证明（一）下载

1，定理（柯西-古萨定理）：设 $f (z)$ 在区域 $R$ 上解析， $C$ 为 $R$ 内任一简单闭曲线，则

$\oint_{C} f (z) d z = 0$

证明：第一步，证明在任意三角形边界上积分为 $0$ 。

取三角形三边中点，将三点连线成三条直线，将三角形分成四个全等三角形。

记 $T$ 为三角形或者它的边界， $I = \int_{T} f (z) d z$ ， $I = I_{1}^{1} + I_{1}^{2} + I_{1}^{3} + I_{1}^{4}$ ，下标表示第一次划分，上标表示第几个三角形。

上面四个三角形上的积分中，至少有一个积分的绝对值大于原积分绝对值的 $\frac{1}{4}$ ，不妨设第一个积分

$| I_{1}^{1} | \geq \frac{1}{4} | I |, \oint_{T_{1}} f (z) d z$

我们再对 $T_{1}$ 划分成四个三角形，在这中个三角中，又至少有一个三角形上积分的绝对值大于 $T_{1}$ 上积分的绝对值的 $\frac{1}{4}$ ；重复进行这样的过程，我们得到一系列的三角形

$T \supset T_{1} \supset \dots \supset T_{n} \supset \dots$

而且

$I_{n} = \oint_{T_{n}} f (z) d z, | I_{n} | \geq \frac{I}{4^{n}}$

若 $L$ 为 $T$ 的周长， $L_{n}$ 为 $T_{n}$ 的周长。

$L_{n} = \frac{L}{2^{n}}$

由我们前面的划分方式，我们知道 $T, T_{1}, T_{2}, \dots, T_{n}, \dots$ 有一个公共点 $z_{0}$ 。由假设 $f (z)$ 在 $z_{0}$ 处连续可导，那么给定任意的 $ϵ > 0$ ，存在 $δ > 0$ ，使得当 $| z - z_{0} | < δ$ 时，

$| f (z) - f (z_{0}) - f^{'} (z_{0}) (z - z_{0}) | < ϵ | z - z_{0} |$

也就是说，

$f (z) = f (z_{0}) + f^{'} (z_{0}) (z - z_{0}) + η (ϵ) (z - z_{0})$

其中 $lim_{z \to z_{0}} η (ϵ) = 0, | η (ϵ) | < ϵ$ 。取 $n$ 足够大，使得 $T_{n}$ 全部位于 $| z - z_{0} | < δ$ 之内，所以

$\begin{aligned} I_{n} & = \oint_{T_{n}} f (z) d z = \oint_{T_{n}} f (z_{0}) d z + \oint_{T_{n}} f^{'} (z_{0}) (z - z_{0}) d z + \oint_{T_{n}} η (ϵ) (z - z_{0}) d z \\ = f (z_{0}) \oint_{T_{n}} d z + f^{'} (z_{0}) \oint_{T_{n}} (z - z_{0}) d z + \oint_{T_{n}} η (ϵ) (z - z_{0}) d z \\ = \oint_{T_{n}} η (ϵ) (z - z_{0}) d z \end{aligned}$

前两个积分为 $0$ 是因为在闭曲线上积分，由平面上的格林公式就知道它们为 $0$ 。

所以

$Missing or unrecognized delimiter for \left$

这里 $| z - z_{0} | \leq \frac{L_{n}}{2}$ 是因为两个点位于三角形内部，它们的距离显然小于三角形周长的一半。

又因为 $\frac{1}{4^{n}} | I | \leq | I_{n} |$ ，所以

$Missing \begin{align*} or extra \end{align*}$

令 $ϵ \to 0$ ，我们得到 $| I | = 0$ ，所以

$\oint_{T} f (z) d z = 0$ 这样我们证明了在任意一个三角形边界上，积分为 $0$ 。