方阵的特征值与特征向量在其它学科有着很广泛而重要的应用。这一节我们学习它们的定义与计算问题。
1，特征值与特征向量：若 \(A\vec{x}=\lambda \vec{x},\vec{x}\ne 0\)，则我们称 \(\lambda\) 为方阵 \(A\) 的特征值，\(\vec{x}\) 为方阵 \(A\) 的对应于特征值 \(\lambda\) 的特征向量。
这里我们要求： \(A\) 是一个方阵，\(\lambda\) 是一个实数， \(\vec{x}\) 是一个非零向量。
2，计算：\(A\vec{x}=\lambda \vec{x}\quad\Rightarrow\quad A\vec{x}-\lambda \vec{x}=0\quad\Rightarrow\quad (A-\lambda I)\vec{x}=0\)
\((A-\lambda I)\vec{x}=0\) 有非零解 \(\quad\Rightarrow\quad |A-\lambda I|=0\)
所以，特征值与特征向量的求法就是：
- 解方程 \(|A-\lambda I|=0\)，求出特征值；
- 解方程组 \(A\vec{x}-\lambda \vec{x}=0\)，求出对应于 \(\lambda\) 的特征向量。
我们称 \(|A-\lambda I|\) 为 \(A\) 的特征多项式，\(|A-\lambda I|=0\) 为特征方程。
例1：设 \(A=\begin{pmatrix}3&-1\\-1&3\end{pmatrix}\) 的特征值与特征向量。
解：（1）先求特征值，
\[\begin{align*}|A-\lambda I|&=\begin{vmatrix}3-\lambda&-1\\-1&3-\lambda\end{vmatrix}=(3-\lambda)^-1=\lambda^2-6\lambda+8\\ &=(\lambda-4)(\lambda-2)=0\end{align*}\]
所以得到特征值为 \(\lambda_1=2, \lambda_2=4\)。
（2）当 \(\lambda=2\) 时，解方程组 \(A\vec{x}-\lambda \vec{x}=0\)，
\[A-\lambda I=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&-1\\0&0\end{pmatrix}\]
所以特征向量为 \(\vec{x}_1=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\)
当 \(\lambda=4\)时，解方程组 \(A\vec{x}-\lambda \vec{x}=0\)，
\[A-\lambda I=\begin{pmatrix}-1&-1\\-1&1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}-1&-1\\0&0\end{pmatrix}\]
所以特征向量为 \(\vec{x}_2=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}\)
例2：\(A=\begin{pmatrix}1&-2&2\\-2&-2&4\\2&4&-2\end{pmatrix}\) ，求 \(A\) 的特征值与特征向量。
解：（1）求特征值，
\[\begin{align*}|A-\lambda I|&=\begin{vmatrix}1-\lambda&-2&2\\ -2&-2-\lambda&4\\ 2&4&-2-\lambda\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1-\lambda&-2&2\\ -2&-2-\lambda&4\\ 0&2-\lambda&2-\lambda\end{vmatrix}\\ &=(2-\lambda)\begin{vmatrix}1-\lambda&-2&2\\ -2&-2-\lambda&4\\ 0&1&1\end{vmatrix}=(2-\lambda)\begin{vmatrix}1-\lambda&-4&2\\ -2&-6-\lambda&4\\ 0&0&1\end{vmatrix}\\ &=(2-\lambda)\begin{vmatrix}1-\lambda&-4\\ -2&-6-\lambda\end{vmatrix}=(2-\lambda)[(1-\lambda)(-6-\lambda)-8]\\&=(2-\lambda)(\lambda^2+5\lambda-14)=(2-\lambda)(\lambda-2)(\lambda+7)=0\end{align*}\]
所以特征值为 \(\lambda_{1,2}=2, \lambda_3=-7\)。
（2）求特征向量。
当 \(\lambda=2\) 时，
\[A-\lambda I=\begin{pmatrix}-1&-2&2\\ -2&-4&4\\ 2&4&-4\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&2&-2\\ 0&0&0\\ 0&0&0\end{pmatrix}\]
我们得到两个线性无关的特征向量（齐次方程组的基础解系）
\[\vec{x}_1=\begin{pmatrix}-2\\1\\0\end{pmatrix},\vec{x}_1=\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}\]
当 \(\lambda=-7\) 时，
\[\begin{align*}A-\lambda I&=\begin{pmatrix}8&-2&2\\ -2&5&4\\ 2&4&5\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}2&4&5\\ -2&5&4\\ 8&-2&2\end{pmatrix} \\ &\sim \begin{pmatrix}2&4&5\\ 0&9&9\\ 0&-18&-18\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}2&4&5\\ 0&1&1\\ 0&0&0\end{pmatrix}\\ &\sim \begin{pmatrix}2&0&1\\ 0&1&1\\ 0&0&0\end{pmatrix}\end{align*}\]
特征向量为 \(\vec{x}_3=\begin{pmatrix}-1\\-2\\2\end{pmatrix}\)