这节我们证明：幂级数在其收敛圆内可以逐项求导与求积。
我们就函数的幂级数 \(f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n\) 来证明逐项求导与逐项求积分运算可以在其收敛圆内部进行。我们先对逐项积分建立一般性的理论。
1，定理（逐项积分）：设 \(C\) 为级数 \(\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n\) 收敛圆内 \(|z|<R\) 的一条可求长曲线，\(g(z)\) 为在 \(C\) 上连续的函数，则 \[\int_Cg(z)f(z)dz=\sum_{n=0}^{\infty}a_n\int_Cg(z)z^ndz,\quad |z|<R\]
证明：因为 \(f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n\)，所以 \[g(z)f(z)=\sum_{n=1}^{N-1}a_ng(z)z^n+g(z)R_N(z)\] 这里 \(R_N(z)=\sum_{n=N}^{\infty}z_nz^n\) 是级数 \(f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n\) 的余项。两边积分，我们有\[\int_Cg(z)f(z)dz=\sum_{n=1}^{N-1}a_n\int_Cg(z)z^n+\int_Cg(z)R_N(z)dz\] 我们来证明余项 \(\int_Cg(z)R_N(z)dz\) 趋于 \(0\)。因为 \(g(z)\) 在 \(C\) 上连续，所以在 \(C\) 上， \(|g(z)|\le M\)，从而 \[|\int_Cg(z)R_N(z)dz|\le M\cdot|R_N(z)|\cdot l\]其中 \(l\) 为 \(C\) 的长度。因为当 \(N\) 足够大时， \(|R_N(z)|\) 趋于 \(0\)，所以 \(|\int_Cg(z)R_N(z)dz|\) 也趋于 \(0\)。又因为 \(C\) 是 \(|z|<R \) 内任意一条可求长曲线，所以\[\int_Cg(z)f(z)dx=\sum_{n=0}^{\infty}a_n\int_Cg(z)z^ndz,\quad |z|<R\]
2，定理（逐项求导）：设 \(f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n, |z|<R\)，则在 \(|z|<R\) 内，\(f(z)\) 可逐项求导，即 \[f'(z)=\sum_{n=1}^{\infty}na_nz^{n-1}\]
证明：在上一个定理中，我们取 \(C\) 为 \(|z|<R\) 内任意一条包含 \(z\) 的简单闭曲线，\(g(s)=\frac{1}{2\pi i}\cdot\frac{1}{(s-z)^2}\)，那么\[\int_Cg(s)f(s)ds=\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{f(s)}{(s-z)^2}ds=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2\pi i}a_n\int_C\frac{ s^n}{(s-z)^2}ds\]
由柯西积分的推论，关于函数高阶导数的公式， 等式中间的项，
\[\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{f(s)}{(s-z)^2}ds=f'(z)\]而右边和式里的项，
\[\frac{1}{2\pi i}a_n\int_C\frac{ s^n}{(s-z)^2}ds=\begin{cases}na_nz^{n-1}, \quad &n\ge 2\\ 0,&n=1\end{cases}\]又因为 \[\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)a_n}{na_{n-1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}\] 所以 \(\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n\) 与 \(\sum_{n=1}^{\infty}na_{n}z^{n-1}\) 具有相同的收敛半径。所以 \[f'(z)=\sum_{n=1}^{\infty}na_nz^{n-1},\quad |z|<R\]