1，微分：若函数可导，则函数可微分。函数 \(y=f(x)\)的微分定义为
\[df=f'(x)dx=dy\]
注意函数的微分是\(x\) 的二元函数，要知道函数在一点处的微分，我们不仅要给出 \(x\) 的值，还需要给出 \(dx\) 的值。自变量的微分就是自变量的增量，也就是 \(dx=\Delta x\)。
例1，\(y=\tan x\)，则 \(dy=\sec^2xdx\)。
2，函数的近似值：函数的微分常用来求函数在某一点处的近似值。
\[f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-1)\] 或者
\[f(x+\Delta x)\approx f(x)+f'(x)\Delta x\]
例2，求 \(\sqrt{0.99}\) 的近似值。
解：令 \(f(x)=\sqrt{x}\)，则 \(\sqrt{0.99}=f(0.99)\)，\(f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)。取 \(a=1,\Delta x=0.99-1=-0.01\)，则有
\begin{align*}f(0.99)&\approx f(1)+f'(1)(x-a)\\ &=1+\frac{1}{2}(-0.01)=0.995\end{align*}
例3，求 \(\sqrt[3]28\) 的近似值。
解：令 \(f(x)=\sqrt[3]{x}\)，则 \(\displaystyle f'(x)=\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}\)。取 \(a=27\)，则函数的近似值为
\begin{align*}f(28)&\approx f(27)+f'(27)(28-27)=3+\frac{1}{27}\end{align*}
例4，求 \(\tan 44^{\circ}\) 的近似值。
解：令 \(f(x)=\tan x, f'(x)=\sec^2x\)。取 \(a=\frac{\pi}{4}\)，则 \(f\left(\frac{\pi}{4}\right)=1,\)，\(f’\left(\frac{\pi}{4}\right)=2\)，\(\Delta x=-1^{\circ}=-\frac{\pi}{180}\)所以
\[f(44^{\circ})\approx f(45^{\circ})+f'(45^{\circ})\left(-\frac{\pi}{180}\right)=1-\frac{\pi}{90}\]