函数在无穷远处的性质

我们之前所考虑的孤立奇点，都是有限数的情形。现在我们考虑函数在无穷远处的情形。

1，变换 $\xi =\frac{1}{z}$：研究无穷远处的孤立奇点，我们做一个变换 $\xi =\frac{1}{z}$ 将 $z$ 在无穷远处的领域转换成 $\xi$ 在 $0$ 点的领域，这是比较方便的做法。

我们令 $g(\xi )=f(\frac{1}{\xi })=f(z)$，则 $f(z)$ 在无穷远处的奇点类型定义为 $g(\xi )$ 在$0$ 点处的奇点类型。

（1）若 $g(\xi )$ 在 $0$ 点处是解析的，我们称 $f(z)$ 在 $\mathrm{\infty }$ 是解析的；

（2）若 $g(\xi )$ 以 $0$ 为可去奇点，我们称 $f(z)$ 以 $\mathrm{\infty }$ 为可去奇点；

（3）若 $g(\xi )$ 以 $0$ 为极点，我们称 $f(z)$ 以 $\mathrm{\infty }$ 为极点；

（4）若 $g(\xi )$ 以 $0$ 为本性奇点，我们称 $f(z)$ 以 $\mathrm{\infty }$ 为本性奇点。

例1：函数 $f(z)=1+z^2$，作变换 $\xi =\frac{1}{z}$，则 $g(\xi )=f(\frac{1}{\xi })=1+\frac{1}{{\xi }^2}$ 以 $0$ 为二级极点，则 $f(z)$ 以 $\mathrm{\infty }$ 为二级极点。

设函数 $f(z)=e^z$，我们令 $g(\xi )=f(\frac{1}{\xi })=e^{\frac{1}{\xi }}$ ， 则 $g(\xi )$ 以 $0$ 为本性奇点，所以 $f(z)$ 以 $\mathrm{\infty }$ 为本性奇点。

2，罗朗级数：若 $f(z)$ 在 $R<|z|<\mathrm{\infty }$ 内解析，则 $g(\xi )$ 在 $0<|\xi |<\frac{1}{R}$ 内解析，设 $g(\xi )$ 的罗朗级数为 $$g(\xi )=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_{-n}{\xi }^{-n}+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{\xi }^n$$则 $f(z)$ 的罗朗级数为 $$f(z)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_{-n}{z}^n+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{c_n}{z^n}$$

所以我们有结论：

（1）若 $\mathrm{\infty }$ 为 $f(z)$ 的可去奇点，则$$f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{c_n}{z^n};$$

也就是说罗朗级数只有负指数项与常数项；

（2）若 $\mathrm{\infty }$ 为 $f(z)$ 的极点，则$$f(z)=c_{-m}{z}^m+\cdots +c_{-1}z+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{c_n}{z^n};$$

正指数项只有有限项；

（3）若 $\mathrm{\infty }$ 为 $f(z)$ 的本性奇点，则$$f(z)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_{-n}{z}^n+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{c_n}{z^n}.$$

正指数项有无穷多项。

例2，$f(z)=\frac{z}{1+z}$ 在 $1<|z|<\mathrm{\infty }$ 内解析，

$$f(z)=\frac{z}{1+z}=\frac{1}{1+\frac{1}{z}}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{\left(\frac{1}{z}\right)}^n$$

罗朗级数只有负指数项与常数项，所以 $\mathrm{\infty }$ 是函数的可去奇点。

例3，确定 $f(z)=\sin z$ 在无穷远处奇点的类型。

解：因为

$$f(z)=z-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}+\cdots +\frac{(-1{)}^n{z}^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{z}^{2n+1}}{(2n+1)!}$$

正指数项有无穷多项，所以 $\mathrm{\infty }$ 是函数的本性奇点。