解析函数的一个特点是它们的零点是孤立的，也就是说，在一个零点的附近没有别的零点。另外，若两个解析函数在区域内的某个数列上的值相等，则它们在整个区域上的值相等，这就是解析函数的唯一性。
现在我们来证明这两个定理。
1，定理（解析函数零点的孤立性）：若 \(f(z)\) 在区域 \(D\) 内解析， \(z_0\in D\) 为 \(f(z)\) 的零点，则 \(f(z)\) 在 \(z_0\) 的某个邻域内没有其它零点，除非 \(f(z)\) 在 \(D\) 内恒等于 \(0\)。
证明：因为 \(f(z)\) 在 \(D\) 上解析，所以 \(f(z)\) 在 \(z_0\) 处可展开成泰勒级数
\begin{align*}f(z)=a_0+a_1(z-z_0)+a_2(z-z_0)^2+\cdots+a_n(z-z_0)^n+\cdots\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n\end{align*}
因为 \(f(z_0)=0\)， 所以 \(a_0=0\)，现在有两种情况：
（1）\(a_0=a_1=\cdots=a_n=\cdots\)，即所有的泰勒系数都为 \(0\)，这时候 \(f(z)=0\)；
（2）\(a_0=a_1=\cdots=a_{m-1}=0, a_m\ne 0\)，这时候称 \(z_0\) 为 \(f(z)\) 的 \(m\) 级零点，所以
\begin{align*}f(z)&=a_m(z-z_0)^m+a_{m+1}(z-z_0)^{m+1}+\cdots\\ &=(z-z_0)^m\sum_{k=0}^{\infty}a_{m+k}(z-z_0)^k\\ &=(z-z_0)^mg(z)\end{align*}
其中 \(g(z)\) 在 \(D\) 上解析且 \(g(z_0)=a_m\ne 0\)。所以在 \(z_0\) 的一个小邻域里，\(g(z)\ne 0\)，也就是说，存在 \(\epsilon>0\)，使得当 \(0<|z-z_0|<\epsilon\) 时，\(g(z)\ne 0\)，从而当 \(0<|z-z_0|<\epsilon\) 时，\(f(z)=(z-z_0)^mg(z)\ne 0\)。也就是说，在 \(z_0\) 的这个去心邻域内，函数 \(f(z)\) 不为 \(0\)。证毕。
2，推论：若函数 \(f(z)\) 在圆盘 \(|z-z_0|<R\) 上解析且有一系列零点 \(\{z_n\}\) 收敛于 \(z_0\)，则 \(f(z)\) 在此圆盘上恒等于 \(0\)。
证明：因为 \(z_0\) 是一个非孤立的零点，所以由上述定理，只能是函数恒等于 \(0\)。
3，定理（解析函数的唯一性）：设函数 \(f_1(z)\) 和 \(f_2(z)\) 都在 \(D\) 上解析，若在 \(D\) 有一系列点列 \(\{z_n\}\)，使得 \(f_1(z_n)=f_2(z_n)\)，则在 \(D\) 内 \(f_1(z)=f_2(z)\)。
证明：我们设 \(f(z)=f_1(z)-f_2(z)\)，则只需要证明 \(f(z)\) 在 \(D\) 上恒等于零就可以了。
我们利用所谓的“圆链法”来证明这个结论。设 \(\{z_n\}\) 收敛于 \(z_0\)。若 \(D\) 是以 \(z_0\) 为心的圆盘，那么由上面的推论，就可以直接得到结论。
现在设 \(z’\) 为 \(D\) 内任意一点，我们证明 \(f(z’)=0\)。用 \(D\) 的一条折线将 \(z_0\) 与 \(z’\) 连接起来。假设这条折线与 \(D\) 的边界的距离为 \(\rho\)（折线上点到边界的距离的最小值），在折线上选取一系列的点 \(a_0=z_0, a_1,a_1,\cdots,a_{n-1}, a_n=z’\)，使得两点之间的距离为 \(R<\rho\)。以这些点为圆心，作半径为 \(r\) 的圆 \(R<r<\rho\) 的一系列圆，
因为 \(z_0\) 是聚点，所以在圆 \(K_1: |z-z_0|<r\) 内\(f(z)=0\)，那么在圆 \(K_2:|z-z_1|<R\) 与 \(K_1\) 相交的部分，函数全部为 \(0\)。而 \(z_1\in K_1\)，所以 \(z_1\) 是一系列零点的聚点，所以在 \(K_2\) 内函数恒等于 \(0\)。
这样继续下去，直到含有最后一个圆 \(K_n:|z-z’|<r\)，在这个圆内，\(f(z)=0\)，所以 \(f(z’)=0\)。因为 \(z’\) 是 \(D\) 内任意一点，我们得到在 \(D\) 内，\(f(z)=0\)也就是 \(f_1(z)=f_2(z)\)。证毕。