这一节我们证明解析函数的保形性。
1，定理（解析函数的保形性）：设 \(f(z)\) 在区域内解析， \(z_0\in D, f'(z_0)\ne 0\)。则 \(f(z)\) 在 \(z_0\) 处（1）保持夹角不变；（2）伸缩率不变，即
\[\lim_{z\to z_0}\frac{|w_1-w_0|}{|z-z_0|}=f'(z_0)\]
证明：（1）若 \(\gamma(t)\) 是过 \(z_0\) 的一条曲线，\(\gamma(0)=z_0\)，设
\[\sigma(t)=f(\gamma(t)),\quad \sigma(0)=w_0\]
\[\text{arg}\gamma'(0)=\theta,\quad \text{arg}\sigma'(0)=\alpha\]
因为 \(\sigma'(t)=f'(\gamma(t))\cdot \gamma'(t)\)，所以
\begin{align*}\text{arg}\sigma'(0)&=\text{arg}(f'(\gamma(0))\cdot \gamma'(0))\\ &=\text{arg}(f'(\gamma(0)))+ \text{arg}\gamma'(0)\\ &=\text{arg}f'(z_0)+\text{arg}\gamma'(0)\end{align*}
假设 \(\gamma_1(t)\) 为过 \(z_0\) 的另一条曲线，则 \(\sigma_1(t)=f(\gamma_1(t))\) 为过 \(w_0\) 的曲线，类似地有
\[\text{arg}\sigma_1′(0)=\text{arg}f'(z_0)+\text{arg}\gamma_1′(0)\]
所以
\[\text{arg}\sigma_1′(0)-\text{arg}\sigma'(0)=\text{arg}\gamma_1′(0)-\text{arg}\gamma'(0)\]
也就是说夹角在映射下保持不变。
（2）因为
\[\lim_{z\to z_0}\frac{|f(z)-f(z_0)|}{|z-z_0|}=\lim_{z\to z_0}\frac{|w-w_0|}{|z-z_0|}=f'(z_0)\]
这个数值与曲线无关，所以两点之间的伸缩率在极限下保持不变。也就是说，两个图形在充分下的范围内是相似的。
所以解析映射在导数不等于零的地方具有保形性。
现在的问题是，哪些函数的导数的不等于零？有一类简单的函数，导数在某个区域内导数不为零，这就是区域上的单叶解析函数。
2，定理：若 \(f(z)\) 在区域 \(D\) 上单叶解析，则 \(f'(z)\ne 0, z\in D\)。反之，若 \(f'(z)\ne 0\)，则 \(f(z)\) 在 \(z_0\) 的一个邻域内单叶。
证明：（1） \(f(z)\) 在 \(D\) 上单叶解析。假设存在 \(z_0\in D,f'(z_0)=0\)。
\(\Rightarrow\) \(z_0\) 是 \(f(z)-f(z_0)\) 的 \(m\) 级零点，\(m\ge 2\)，这是因为 \[\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=0\]
\(\Rightarrow\) 取 \(z_0\) 的一个邻域，在这个邻域内除去 \(z_0\) 外，没有 \(f'(z)\) 的其它零点， \(f'(z)\ne 0\)。
\(\Rightarrow\) 由儒歇定理， \(f(z)-w\) 与 \(f(z)-f(z_0)\) 在 \(z_0\) 的一个邻域内有相同的个数的零点（与上一节证明保域性定理一样）。这里零点的个数 \(m\ge 2\)。
\(\Rightarrow\) 与 \(f(z)\) 的单叶性矛盾。
（2）若 \(f'(z_0)\ne 0\) \(\Rightarrow\) \(f(z)-f(z_0)\) 以 \(z_0\) 为简单极点。
\(\Rightarrow\) 对充分小的 \(\rho\) ，存在 \(\delta >0\)，使得 \(|f(z)-w|<\delta\) 成立的任一 \(w\)， \(f(z)-w\) 在 \(|z-z_0|<\rho\) 内只有一个零点。所以 \(f(z)-w=0\) 只一个解 \(z\)，也就是说 \(f(z)\) 在 \(|z-z_0|<\rho\) 内是单叶的。