线性代数里面最核心的部分是线性空间与线性变换的内容，很多教材上对这部分的讲述通常比较抽象，使得学生觉得这部分很难。事实上，有很多实例能够帮助我们理解这些概念与定理。我们先从 \(R^n\) 上的线性变换入手来阐明这些概念。
线性变换的概念类似于函数的概念。
1，\(R^n\) 上的变换：如果任何一个 \(R^n\) 中的向量 \(\vec{x}\)，有 \(R^m\) 中唯一一个向量 \(\vec{y}\) 与之对应，我们称这样的对应关系称为一个变换，记为 \(T:R^n\to R^m\)。
例1，变换
\[T\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\]
称为投影变换，它将 \(R^3\) 中的向量变为 \(R^2\) 中的变量。
例2，变换 \(T\) 定义为 \(T\vec{x}=A\vec{x}\)，其中 \(A\) 为一矩阵，这样的变换称为矩阵变换。
如 \(A=\begin{pmatrix}1&-3\\ 3&5\\-1&7\end{pmatrix}\) 将 \(R^2\) 中的向量变为 \(R^3\) 中的向量，
\[A\begin{pmatrix}2\\ -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-3\\ 3&5\\-1&7\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\ -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\ 1\\-9\end{pmatrix}\]
2，线性变换：我们称一个变换 \(T\) 是线性的，是指它满足：（1）\(T(\vec{u}+\vec{v})=T\vec{u}+T\vec{v}\)；（2）\(T(\lambda \vec{u})=\lambda T(\vec{u}), \lambda\in R\)。
或者，合并这两个条件，称变换 \(T\) 是线性的是指 \(T(\lambda\vec{u}+\mu\vec{v})=\lambda T(\vec{u})+\mu T(\vec{v})\)
例3，投影变换 \(T\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\) 是线性变换。
解：设 \(\vec{u}=\begin{pmatrix}x_1\\y_1\\z_1\end{pmatrix}, \vec{v}=\begin{pmatrix}x_2\\y_2\\z_2\end{pmatrix}\)，则
\[\begin{align*}T(\vec{u}+\vec{v}&=T\begin{pmatrix}x_1+x_2\\y_1+y_2\\z_1+z_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1+x_2\\y_1+y_2\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}x_1\\y_1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}x_2\\y_2\end{pmatrix}=T(\vec{u})+T(\vec{v})\end{align*}\]
所以第一个条件满足。现在来看第二个条件
\[\begin{align*}T(\lambda \vec{u})&=T\begin{pmatrix}\lambda x_1\\ \lambda y_1\\ \lambda z_1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\lambda x_1\\ \lambda y_1\end{pmatrix}=\lambda \begin{pmatrix} x_1\\ y_1\end{pmatrix}=\lambda T(\vec{u})\end{align*}\]
所以第二个条件也满足。所以 \(T\) 是线性变换。
注：我们可以用后一种方法来确定变换是不是线性的。
\[\begin{align*}T(\lambda\vec{u}+\mu\vec{v})&=T\begin{pmatrix}\lambda x_1+\mu x_2\\ \lambda y_1+\mu y_2\\ \lambda z_1+\mu z_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\lambda x_1+\mu x_2\\ \lambda y_1+\mu y_2\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}\lambda x_1\\ \lambda y_1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\mu x_2\\ \mu y_2\end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix} x_1\\ y_1\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix} x_2\\ y_2\end{pmatrix}\\ &=\lambda T(\vec{u})+\mu T(\vec{v})\end{align*}\]
所以 \(T\) 是线性变换。
例4，设 \(T\) 是线性变换，\(T\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix},T\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}\)，求 \(T\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}\)。
解：我们现在没有别的办法求 \(T\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}\)，只有利用线性变换的定义来求。我们将 \(\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}\) 用另外两个向量表示出来，然后利用线性变换的定义，将这个向量的像用另外两个向量的像表示出来。
设 \(\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}=a\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}\)，这表示
\[\begin{pmatrix}1&1\\1&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}\]
解这个方程组
\[\begin{align*}\begin{pmatrix}1&1&\vdots&4\\1&-2&\vdots&3\end{pmatrix}&\sim \begin{pmatrix}1&1&\vdots&4\\0&-3&\vdots&-1\end{pmatrix}\\ &\sim \begin{pmatrix}1&1&\vdots&4\\0&1&\vdots&-\frac{1}{3}\end{pmatrix}\\ &\sim \begin{pmatrix}1&0&\vdots&\frac{11}{3}\\0&1&\vdots&-\frac{1}{3}\end{pmatrix}\end{align*}\]
所以 \(a=\frac{11}{3}, b=\frac{1}{3}\)，由线性变换的定义
\[\begin{align*}T\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}&=T\left(\frac{11}{3}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}\right)\\ &=\frac{11}{3}T\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+\frac{1}{3}T\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}\\ &=\frac{11}{3}\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}+\frac{1}{3}\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}27\\-32\end{pmatrix}\end{align*}\]