现在可以定义一般的线性空间的定义。线性空间是一组向量的集合，在其上定义了加法与数乘。加法与乘法满足一般的加法与乘法的运算规律，并且在此集合上，对加法与数乘封闭，这样的集合称为一个线性空间。
1，线性空间：线性空间（或者向量空间） \(\mathcal{V}\) 是一个非空集合，其中的元素称为向量， 在 \(\mathcal{V}\) 上定义了加法和数乘两种运算，满足：
（1）若 \(\vec{u}\in\mathcal{V}, \vec{v}\in\mathcal{V}\)，则 \(\vec{u}+\vec{v}\in\mathcal{V}\)（对加法运算封闭）；
（2）\(\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}\)；
（3）\((\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}=\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})\)；
（4）\(\mathcal{V}\) 中存在零元素 \(0\)，使得 \(\vec{u}+o=0+\vec{u}=\vec{u}\)；
（5）\(\mathcal{V}\) 中的任一元素 \(\vec{u}\in\mathcal{V}\)，存在负元素 \(-\vec{u}\in\mathcal{V}\)，使得 \(\vec{u}+(-\vec{u})=0\)；
（6）若 \(\vec{u}\in\mathcal{V}\)，则对任何 \(\lambda\in \mathbb{R}\)，有 \(\lambda\vec{u}\in\mathcal{V}\)，这表示集合对数乘运算封闭。\(\lambda\) 可以是其它数域。若它是实数，则称 \(\mathcal{V}\) 是实向量空间，若它是复数，则称 \(\mathcal{V}\) 是复向量空间；
（7）\(\lambda(\vec{u}+\vec{v})=\lambda\vec{u}+\lambda\vec{v},\lambda\in\mathbb{R}\)；
（8）\((\lambda+\mu)\vec{u}=\lambda\vec{u}+\mu\vec{u}, \lambda,\mu\in\mathbb{R}\)；
（9）\(\lambda(\mu\vec{u})=(\lambda\mu)\vec{u},\lambda,\mu\in\mathbb{R}\)；
（10）\(1\vec{u}=\vec{u}\)。
如果要证明一个集合是一个线性空间（向量空间），就要验证这些条件都满足。若其中一个条件不满足，则这个集合就不是线性空间。
例1，\(\mathbb{R}^n\) 是一个线性空间。根据实数的运算性质，以及矩阵的加法，数乘的运算规律，可以得到 \(\mathbb{R}^n\) 满足上述所有条件。
例2， \(\mathbb{P}_n\) 定义为最高阶为 \(n\) 的多项式集合， \(\mathbb{P}_n=\{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\}\) 是一个线性空间。
例3，\([a,b]\) 上所有连续函数组成的集合，记为 \(C[a,b]\)，是一个线性空间。
证明：设 \(f,g,h\in C[a,b]\)，则由连续函数的运算性质，下列各条件成立：
（1）\(f+g\) 也是 \([a,b]\) 上的连续函数，\(f+g\in C[a,b]\)，所以 \(C[a,b]\) 对加法运算封闭；
（2）\(f+g=g+f\)；
（3）\((f+g)+h=f+(g+h)\)；
（4）\(f=0\) 也是 \([a,b]\) 上的连续函数，所以 \(0\in C[a,b]\)；
（5）若 \(f\) 是\([a,b]\) 上的连续函数，则\(-f\) 也是 \([a,b]\) 上的连续函数，且 \(f+(-f)=0\)；
（6）\(\lambda f\) 也是 \([a,b]\) 上的连续函数，所以 \(C[a,b]\) 对数乘运算封闭；
（7）\(\lambda(f+g)=\lambda f+\lambda g\)；
（8）\((\lambda+\mu)f=\lambda f+\mu f\)；
（9）\(\lambda(\mu f)=(\lambda\mu)f\)；
（10）\(1 f=f\)。
所以\([a,b]\) 上的连续函数构成一个线性空间。