1，对称点：我们称 \(z_1,z_2\) 关于圆 \(|z-a|=R\) 对称，是指它们满足下列两个条件：
（1）\(z_1,z_2\) 在从 \(a\) 出发的同一条射线上；
（2）\(|z_1-a|\cdot|z_2-a|=R^2\)。
\(a\) 的对称点定义为 \(\infty\)。需要注意的是，圆周的点的对称点是它自身。
关于对称点，我们首先有如下的定理。
2，定理：扩充复平面上两点 \(z_1,z_2\) 关于圆周 \(C: |z-a|=R\) 对称的充分必要条件是，所有过 \(z_1,z_2\) 的圆与 \(C\) 正交。
证明：首先，设 \(z_1,z_2\) 关于 \(C\) 对称。
第一种情况，过 \(z_1,z_2\) 的直线（是半径为无穷大的圆）\(\Gamma\) 与 \(C\) 正交（因为半径与圆正交）。
第二种情况，过 \(z_1,z_2\) 的圆 \(\Gamma\)，半径为有限。从 \(a\) 作 \(\Gamma\) 的切线，与 \(\Gamma\) 的交点记为 \(z’\)。由平面几何的切割线定理得到
\[|z’-a|^2=|z_1-a|\cdot|z_2-a|=R^2\]
所以 \(|z’-a|^2=R^2\)，所以 \(z’\) 在 \(C\) 上，从而 \(\Gamma\) 与 \(C\) 正交（切线与圆 \(C\) 是正交的）。
反之，设过 \(z_1,z_2\) 的任意圆与 \(C\) 正交。
设过 \(z_1,z_2\) 的半径为有限的圆 \(\Gamma\) 与 \(C\) 正交，交点为 \(z’\)。那么 \(R^2=|z’-a|^2=|z_1-a|\cdot|z_2-a|\)。所以
\[|z_1-a|\cdot|z_2-a|=R^2\]
并且再一次由圆的切割线定理，我们知道 \(z_1,z_2\) 在过 \(a\) 点的同一条射线上。所以 \(z_1,z_2\) 是关于 \(C\) 的对称点。
另外，若联接 \(z_1,z_2\) 的直线 \(\Gamma\) 是与 \(C\) 是正交的。则 \(\Gamma\) 过 \(a\) 点，所以 \(z_1,z_2\) 在过 \(a\) 的同一条射线上，因此 \(z_1,z_2\) 是关于 \(C\) 的对称点。证毕。
这一节的主要结论是下面的定理。
3，定理：分式线性函数将对称点变成对称点。
证明：由上一节我们知道，分式线性函数 \(\displaystyle w=\frac{az+b}{cz+d}\) 将圆 \(C\) 变成圆 \(C’\)。它也将过 \(z_1,z_2\) 的任一圆 \(\Gamma\) 变成 \(w\) 平面上的圆 \(\Gamma’\)。
再由分式线性函数的保形性，\(\Gamma’\) 与 \(C’\) 正交，即过 \(\displaystyle w_1=\frac{az_1+b}{cz_1+d}\) 与 \(\displaystyle w_2=\frac{az_2+b}{cz_2+d}\) 的任一圆 \(\Gamma’\) 与 \(C’\) 正交。由上面的定理，我们知道 \(w_1,w_2\) 为关于 \(C’\) 的对称点。