1，分式线性函数 \[w=\frac{az+b}{cz+d}\]
具有保形性，保圆性，保交比性和保对称点性。现在我们来看一些例子。
例1，（1）分式线性变换 \(\displaystyle w=i\frac{1-z}{1+z}\) 将单位圆变成上半平面；
（2）\(\displaystyle w=\frac{i-z}{i+z}\) 将上半平面变成单位圆。
解：（1）因为 \[w(1)=0,\quad w(i)=1,\quad w(-1)=\infty\]
所以它将圆周上的三点 \(1,i,-1\) 变成了实数轴的点 \(0,1,\infty\)。由保圆性，它将圆周变成了实数轴。又因为 \(w(0)=i\)，它将圆的内部一点 \(z=0\) 变成上半平面上的一点 \(w=i\)，所以圆的内部变成上半平面。
所以分式线性变换 \(\displaystyle w=i\frac{1-z}{1+z}\) 将单位圆变成上半平面。
（2）直接计算可以知道 \(\displaystyle w=g(z)=\frac{i-z}{i+z}\) 是 \(\displaystyle f(z)=i\frac{1-z}{1+z}\) 的反函数，所以\(\displaystyle w=\frac{i-z}{i+z}\) 将上半平面变成单位圆。
例2，求分式线性函数，将圆心在 \(-1\)，半径为 \(2\) 的圆映射成右半平面。
我们可以用好几种方法来求出这样的分式线性函数。
解：（I）我们利用分式线性函数的分解来求这个线性变换。从上例我们已经知道怎么将单位圆变成上半平面，那么我们可以这么做：首先，将圆心平移到原点；其次，将半径为 \(2\) 的圆变成单位圆；再次，将单位圆变成上半平面；最后，将上半平面旋转 \(-\frac{\pi}{2}\)，就得到了右半平面。所以
（1）\(f(z)=z+1\) 将圆往右平移 \(1\)，圆心变成原点；
（2）\(g(z)=\frac{1}{2}z\)，将半径从 \(2\) 变成 \(1\)；
（3）\(h(z)=i\frac{1-z}{1+z}\)，将单位圆变成上半平面；
（4）\(\varphi(z)=e^{-\frac{\pi}{2}i}z\) 将上半平面变成右变平面。
将以上几个函数复合，我们得到所要的函数
\[w=\varphi(h(g(f(z))))=e^{-\frac{\pi}{2}i}(i\frac{1-\frac{1}{2}(z+1)}{1+\frac{1}{2}(z+1)})=(-i)(-i)\frac{2-z-1}{2+z+1}=\frac{1-z}{3+z}\]
（II）这个例题也可以用分式线性函数的保交比性来得到。我们不另外做具体计算了，在之前讲保交比性的时候就做过这样的例子，我们讲一下思路。
我们将圆周上的三点 \(1,\sqrt{3}i, -3\) 按照顺序分别变成虚轴上的三点 \(0,i,\infty\)，即\[w(1)=0, \quad w(\sqrt{3}i)=i,\quad w(-3)=\infty\]那么由分式线性函数的保交比性，
\[\frac{z-1}{z-\sqrt{3}i}:\frac{-3-1}{-3-\sqrt{3}i}=\frac{w}{w-i}:\frac{1}{1}\]
然后求出 \(w\) 的表达式即可。
（III）可以用待定系数的方式来确定分式线性函数。
设 \(\displaystyle w=\frac{az+b}{cz+d}\)。如上，们将圆周上的三点 \(1,\sqrt{3}i, -3\) 按照顺序分别变成虚轴上的三点 \(0,i,\infty\)，则
\[w(1)=0=\frac{a+b}{c+d}=0,\quad \Rightarrow\quad a=-b\]
\[w(-3)=\infty=\frac{-3a+b}{-3c+d},\quad \Rightarrow\quad d=3c\]
所以 \[w=\frac{az-a}{cz+3c}=\frac{a}{c}\cdot\frac{z-1}{z+3}\]
由 \(w(\sqrt{3}i)=i\)，可以得到
\[w(\sqrt{3}i)=\frac{a}{c}\cdot\frac{\sqrt{3}i-1}{\sqrt{3}i+3}=i\]
\[\frac{a}{c}=i\frac{\sqrt{3}i+3}{\sqrt{3}i-1}=\sqrt{3}\]
所以所求的分式线性函数为
\[w=\sqrt{3}\frac{z-1}{z+3}\]