这一节我们利用 Schwarz-Christoffel 公式来求一些有关多形形的保形变换。
例1，将上半平面映射成如图的多边形区域，并且 \(f(-1)=i, f(1)=0\)。
解：我们看到，在 \(w=i\) 处，外角为 \(\frac{3\pi}{2}\)，因为我们要求 \(-\pi<k_i\pi<\pi\)，所以这里外角取 \(-\frac{\pi}{2}\)，也就是说，我们取 \(k_1=-\frac{1}{2}\)。在 \(w=0\) 处，外角为 \(\frac{\pi}{2}\)，所以 \(k_2=\frac{1}{2}\)，从而
\[f'(z)=A(z+1)^{\frac{1}{2}}(z-1)^{-\frac{1}{2}}\]
由 Schwarz-Christoffel 公式，
\begin{align*}f(z)&=\int A(z+1)^{\frac{1}{2}}(z-1)^{-\frac{1}{2}}dz+B\\ &=\int A\frac{\sqrt{z+1}}{\sqrt{z-1}}dz+B=\int A\frac{z+1}{\sqrt{z^2-1}}dz+B\\ &=A\int\frac{z}{\sqrt{z^2-1}}dz+A\int\frac{1}{\sqrt{z^2-1}}+B\\ &=A\cdot(z^2-1)^{\frac{1}{2}}+\frac{A}{i}\sin^{-1}(z)+B\end{align*}
由已知条件，\(f(-1)=i, f(1)=0\)，我们有
\[f(-1)=i=A(1-1)^{\frac{1}{2}}-Ai\sin^{-1}(-1)+B=\frac{\pi}{2}Ai+B\]
\[f(1)=0=A(1-1)^{\frac{1}{2}}-Ai\sin^{-1}(1)+B=-\frac{\pi}{2}Ai+B\]
解此方程组，得到
\[A=\frac{1}{\pi},\quad B=\frac{i}{2}\]
所以所求的映射为 \[f(z)=\frac{1}{\pi}\sqrt{z^2-1}-\frac{i}{\pi}\sin^{-1}(z)+\frac{i}{2}\]
例2，求将上半平面遇成等边三角形的映射，且\(f(0)=0, f(1)=1\)。
解：\(w=0\) 和 \(w=1\) 处的外角都为 \(\frac{2\pi}{3}\)，所以\[f'(z)=Az^{-\frac{2}{3}}(z-1)^{-\frac{2}{3}}\]
所以 \[f(z)=\int_0^z Az^{-\frac{2}{3}}(z-1)^{-\frac{2}{3}}dz+B\]
这个函数的积分我们不能直接求出来，所以这里我们采用定积分的形式。
而\[f(0)=\int_0^0Az^{-\frac{2}{3}}(z-1)^{-\frac{2}{3}}dz+B=0+B=0\]
所以 \(B=0\)。另外
\[f(1)=1=\int_0^z Az^{-\frac{2}{3}}(z-1)^{-\frac{2}{3}}dz\]
所以 \[A=\frac{1}{\int_0^z z^{-\frac{2}{3}}(z-1)^{-\frac{2}{3}}dz}\]