调和函数的积分表示，泊松（Poison）积分公式

我们现在来推导调和函数的泊松积分公式，或者是调和函数的泊松积分表示。

设函数 $f(z)$ 在圆 $|z|<R$ 内解析，在 $|z|\le R$ 上连续，$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$，那么对于任意圆内一点 $z_0\in |z|<R$，由柯西积分公式

$$\begin{array}{rl}f(z_0)& =\frac{1}{2\pi i}{\int }_{|z|=R}\frac{f(z)}{z-z_0}dz\\ & =\frac{1}{2\pi i}{\int }_0^{2\pi }\frac{f(R{e}^{i\theta })}{R{e}^{i\theta }-r{e}^{i\theta }}iR{e}^{i\theta }d\theta \\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }\frac{f(R{e}^{i\theta })R{e}^{i\theta }}{R{e}^{i\theta }-r{e}^{i\theta }}d\theta \end{array}$$

设 $z_0^{\ast }$ 为 $z_0$ 的对称点，${\displaystyle z^{\ast }=\frac{R^2}{\overline{z}}=\frac{R^2}{r{e}^{-i\phi }}=frac{R}^2{e}^{i\phi }r}$，则

$$\begin{array}{rl}0& =\frac{1}{2\pi i}{\int }_{|z|=R}\frac{f(z)}{z-z^{\ast }}dz\\ & =\frac{1}{2\pi i}{\int }_0^{2\pi }\frac{f(R{e}^{i\theta })\cdot iR{e}^{i\theta }}{R{e}^{i\theta }-\frac{R^2}{r{e}^{-i\phi }}}d\theta \\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }\frac{f(R{e}^{i\theta })r{e}^{i\theta }}{r{e}^{i\theta }-R{e}^{i\phi }}d\theta \end{array}$$

将上一式减去这一式，可以得到

$$\begin{array}{rl}f(z_0)& =\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f(R{e}^{i\theta })[\frac{R{e}^{i\theta }}{R{e}^{i\theta }-r{e}^{i\theta }}-\frac{r{e}^{i\theta }}{r{e}^{i\theta }-R{e}^{i\phi }}]d\theta \\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f(R{e}^{i\theta })\frac{R{e}^{i\theta }(r{e}^{i\theta }-R{e}^{i\phi })-r{e}^{i\theta }(R{e}^{i\theta }-r{e}^{i\theta })}{(R{e}^{i\theta }-r{e}^{i\theta })(r{e}^{i\theta }-R{e}^{i\phi })}\\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f(R{e}^{i\theta })\frac{Rr{e}^{2i\theta }-R^2{e}^{i(\theta +\phi )}-Rr{e}^{2i\theta }+r^2{e}^{i(\theta +\phi )}}{Rr{e}^{2i\theta }-r^2{e}^{i(\theta +\phi )}-R^2{e}^{i(\theta +\phi )}+Rr{e}^{2i\phi }}d\theta \\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f(R{e}^{i\theta })\frac{(r^2-R^2)e^{i(\theta +\phi )}}{Rr(e^{2i\theta }+e^{2i\phi })-(R^2+r^2)e^{i(\theta +\phi )}}d\theta \\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f(R{e}^{i\theta })\frac{R^2-r^2}{R^2+r^2-Rr(e^{2i\theta }+e^{2i\phi })e^{-i(\theta +\phi )}}d\theta \\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f(R{e}^{i\theta })\frac{R^2-r^2}{R^2+r^2-Rr(e^{i(\theta -\phi )}+e^{-i(\theta -\phi )})}d\theta \\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f(R{e}^{i\theta })\frac{R^2-r^2}{R^2+r^2-2Rr\cos (\theta -\phi )}d\theta \end{array}$$

所以 $$f(z_0)=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f(R{e}^{i\theta })\frac{R^2-r^2}{R^2+r^2-2Rr\cos (\theta -\phi )}d\theta$$

它的实部为$$u(z_0)=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }u(R{e}^{i\theta })\frac{R^2-r^2}{R^2+r^2-2Rr\cos (\theta -\phi )}d\theta$$

所以我们可以得到这样一个定理：

定理：任何一个在圆内调和，在闭圆上连续的函数，其在圆内的值都可以用泊松积分公式给出。