数学物理方程简介

数学物理方程，主要形容由物理学定律导出的偏微分方程。我们常用的物理学定理有质量守恒定律，动量守恒定律，能量守恒定律，以及变分原理等等。

所谓的偏微分方程，就是含有未知函数的偏导数的方程。很显然，这里的未知函数是多元函数。如果只有一个自变量的微分方程，称为常微分方程。

一些熟知的偏微分方程有

（1）调和方程（拉普拉斯方程）：$$\mathrm{\Delta }u=0$$

其中 $\mathrm{\Delta }$ 称为拉普拉斯算子，它的表达式为

$$\mathrm{\Delta }u=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_1^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_2^2}+\cdots +\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_n^2}$$

（2）热传导方程，也称为扩散方程：

$$u_t=a^2\mathrm{\Delta }u$$

（3）波动方程

$$u_{tt}=a^2\mathrm{\Delta }u$$

（4）薛定谔方程，它是量子力学的基本方程：

$$i{u}_t+a^2\mathrm{\Delta }u=0$$

（5）KDV 方程，它来源于浅水波的方程：

$$u_t+u{u}_x+u_{xxx}=0$$

（6）Navier-Stokes 方程（纳维-斯托克斯方程），它是流体力学的基本方程，也是克雷数学研究所七个千禧年问题之一：

$$\{\begin{array}{l}{\mathbf{u}}_t+\mathbf{u}\cdot \mathrm{\nabla }\mathbf{u}-\mathrm{\Delta }\mathbf{u}=\mathrm{\nabla }p\\ \mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{u}=0\end{array}$$

这是不可压缩的流体力学方程，第二个方程表示流体是不可压缩的。

我们这门课主要考虑的是三大方程：热传导方程，波动方程和拉普拉斯方程。它们分别是抛物型方程、双曲型方程以及椭圆型方程的代表。

主要内容是方程的求解，以及解的性质。