一阶线性微分方程的积分因子法

这一节我们说明如何利用积分因子法求解一阶线性微分方程,并如何寻找积分因子。

考虑一阶线性微分方程

\[y’+p(x)y=f(x)\]

我们的思想是,如果能将方程两边乘以一个函数,使得方程左边是某一个函数的导数,那么方程两边再积分,就得到了方程的解。那我们来看如何找到这个函数,这个函数就叫做方程的积分因子。

我们将方程两边乘以一个函数 \(u(x)\),

\[u(x)y’+u(x)p(x)y=u(x)f(x)\]

如果方程左边是某一个函数的导数,那么它必然是 \(u(x)y\) 的导数,因为第一项就是这个函数的导数的一部分,

\[(u(x)y)’=u(x)f(x)\]

左边为

\[u(x)y’+u'(x)y=u(x)f(x)\]

比较这两个方程,就得到 \[u'(x)=u(x)p(x)\]

分离变量,再积分

\[\frac{u'(x)}{u(x)}=p(x),\quad \ln|u(x)|=\int p(x)dx+C,\quad u(x)=Ce^{\int p(x)dx}\]

因为我们只需要找到这样的“一个”函数,不是找通解,所以只需要取没有任意常数的一个解就行了,我们可以取 \(u(x)=e^{\int p(x)dx}\),这就是这个方程的积分因子。

将原方程两边乘以积分因子 \(u(x)=e^{\int p(x)dx}\),方程变为

\[e^{\int p(x)dx}y’+e^{\int p(x)dx}p(x)y=e^{\int p(x)dx}f(x)\]

方程左边可以写成

\[\left(e^{\int p(x)dx}y\right)’=e^{\int p(x)dx}f(x)\]

两边积分就得到

\[e^{\int p(x)dx}y=\int e^{\int p(x)dx}f(x)dx+C\]

再在方程两边乘以 \(e^{-\int p(x)dx}\),就得到了方程的解的表达式

\[y=e^{-\int p(x)dx}\left(\int e^{\int p(x)dx}f(x)dx+C\right)\]

我们来看例题。

例1,解微分方程 \(\displaystyle \frac{dy}{dx}+\frac{1}{x}y=x^3\)。

解:我们可以使用上面的公式

\begin{align*}y&=e^{-\int p(x)dx}\left(\int e^{\int p(x)dx}f(x)dx+C\right)\\ &=y=e^{-\int \frac{1}{x}dx}\left(\int e^{\int \frac{1}{x}dx}x^3dx+C\right)\\ &=e^{-\ln|x|}\left(\int x^3e^{\ln|x|}dx+C\right)\\ &=\frac{1}{|x|}\left(\int x^3|x|dx+C\right)\\ &=\frac{1}{x}\left(\int x^4dx+C\right)=\frac{1}{x}\left(\frac{1}{5}x^5+C\right)\end{align*}

所以

\[y=\frac{1}{x}\left(\frac{1}{5}x^5+C\right)\]

这就是微分方程的解。上面去括号,是因为括号外面和括号里面都有一个绝对值,我们可以把两个绝对值都去掉。

实际上,有时候利用公式,反而不如直接找积分因子来得简单。我们来看,直接找积分因子来解方程的方法。

例2,解方程 \(\displaystyle \frac{dy}{dx}+y\tan x=\sin 2x\)。

解:我们有

\[p(x)=\tan x, f(x)=\sin 2x=2\sin x\cos x\]

积分因子为

\[u(x)=e^{\int p(x)dx}=e^{\int \tan xdx}=e^{-\ln|\cos x|}=\frac{1}{|\cos x|}=|\sec x|\]

我们可以只取 \(u(x)=\sec x\)。方程两边乘以 \(\sec x\),我们得到

\[\sec x y’+y\tan x\sec x=2\sin x\cos x\sec x=2\sin x\]

左边等于 \((\sec xy)’\),所以方程变为

\[(\sec xy)’=2\sin x\]

两边积分,得到

\[\sec xy=-2\cos x +C\]

两边再乘以 \(\cos x\),就得到了方程的解

\[y=-2\cos^2x+C\cos x\]