有些特殊的非线性一阶方程可以通过初等变换的方法将它们化成线性方程或者可分离变量的方程，从而求出它们的解。
首先我们来求解齐次微分方程。这里的齐次方程不是我们前面见到过的齐次微分方程。前面我们见的齐次微分方程是跟非齐次微分方程相对应的。这里的齐次方程是对应的函数是齐次函数。
我们首先来介绍齐次函数的概念。
1，齐次函数：若函数 \(f(x,y)\) 满足
\[f(tx,ty)=t^mf(x),\] 我们称它为 \(m\) 次齐次函数。
2，齐次微分方程：设一阶微分方程
\[M(x,y)dx+N(x,y)dy=0\] 满足 \[M(tx,ty)=t^mMf(x),N(tx,ty)=t^mN(x),\]
即 \(M(x,y),N(x,y)\) 同是 \(m\) 次齐次函数，则我们称这样的微分方程是齐次方程。
3，求解：我们只需要令 \(y=ux\) 或者 \(x=uy\)，即可以将齐次方程化成可分离变量的微分方程。例如，我们令 \(y=ux\)，则 \(dy=udx+xdu\)
\[M(x,ux)dx+N(x,ux)dy=0\]
这里我们将 \(x\) 看成我们前面的 \(t\)，\(M(x,ux)=M(x\cdot 1,x\cdot u)=x^mM(1,u),N(x,ux)=N(x\cdot 1,x\cdot u)=x^mN(1,u)\)，所以方程变为
\[x^mM(1,u)dx+x^mN(1,u)(udx+xdu)=0\]化简，然后分离变量，得到
\[\frac{dx}{x}+\frac{N(1,u)du}{M(1,u)+uN(1,u)}=0\]
两边积分就得到了方程的解。
我们来看一个例子。
例1：解方程 \((x^2+y^2)dx+(x^2-xy)dy=0\)。
解：我们看到，两个函数都是 2 次齐次函数。 我们令 \(y=ux\)，代入方程，
\[(x^2+x^2u^2)dx+(x^2-x\cdot xu)(udx+xdu)=0\]
合并同类项 \(dx,xu\) 并化简，得到
\[x^2(1-+u)dx+x^3(1-u)du=0\]
分离变量，得到
\[\frac{dx}{x}+\frac{1-u}{1+u}du=0\]
将 \[\frac{1-u}{1+u}\] 做部分分式分解，得到
\[\frac{1-u}{1+u}=\frac{2}{1+u}-1\]
所以方程变为\[\frac{dx}{x}+\left(\frac{2}{1+u}-1\right)du=0\]两边积分，
\[\ln|x|+2\ln|1+u|-u=C\]将 \(u=\frac{y}{x}\) 代入，\[\ln|x|+2\ln\left|1+\frac{y}{x}\right|-\frac{y}{x}=C\]
也就是
\[\ln|x|+\ln\left|\frac{x+y}{x}\right|^2-\frac{y}{x}=C\]
利用对数函数的性质，得到
\[\ln\left|\frac{(x+y)^2}{x}\right|-\frac{y}{x}=C\]
\[\ln\left|\frac{(x+y)^2}{x}\right|=\frac{y}{x}C\]
两边取 \(e\) 底，仍然用 \(C\) 表示 \(e^c\) 并且允许其为负数，则得到
\[\frac{(x+y)^2}{x}=Ce^{\frac{y}{x}}\]这就是方程的解。