伯努利方程也是可以利用初等变换法求解的一类非线性方程。
1，伯努利方程：形如
\[\frac{dy}{dx}+p(x,y)y=f(x)y^n\]的方程称为伯努利方程。如果将两边同除以 \(y^n\)，方程变为
\[y^{-n}\frac{dy}{dx}+p(x,y)y^{1-n}=f(x)\]
我们看到，除了相差一个常数外，第一项是 \(y^{1-n}\) 的导数。所以我们可以做变量代换 \(z=y^{1-n}\)，从而方程变为一阶线性微分方程。
2，解法：令 \(z=y^{1-n}\)，则 \(\frac{dz}{dx}=(1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx}\)。将前面的方程两边乘以 \(1-n\)，得到\[(1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx}+(1-n)p(x,y)y^{1-n}=(1-n)f(x)\]
将 \(z=y^{1-n},\frac{dz}{dx}=(1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx}\) 代入，得到
\[\frac{dz}{dx}+(1-n)p(x)z=(1-n)f(x)\]
这是一阶线性微分方程，可以利用之前一阶线性微分方程的解的公式求出。
例1，解方程 \(\displaystyle x\frac{dy}{dx}+y=x^2y^2\)。
解：这个方程初看不像是我们前面所说的方程。但是右边函数，有一个 \(y^2\)，所以它就是伯努利方程，只是导数的前面的系数是 \(x\)，它跟 \(y\) 无关，我们将它除掉就是了。
两边除以 \(xy^2\)，得到
\[y^{-2}\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x}y^{-1}=x\]两边再乘以 \(-1\)，得到
\[-y^{-2}\frac{dy}{dx}-\frac{1}{x}y^{-1}=-x\]
令 \(z=y^{-1}, \displaystyle \frac{dz}{dx}=-y^{-2}\frac{dy}{dx}\)，所以上面的方程变为
\[\frac{dz}{dx}-\frac{1}{x}z=-x\]这是一个一阶线性微分方程，它的解为
\begin{align*}z&=e^{\int\frac{1}{x}dx}\left(\inte^{-\int\frac{1}{x}dx}(-x)dx+C\right)\\ &=e^{\ln|x|\left(\inte^{-\on|x|}(-x)dx+C\right)}\\ &=x\left(\int\frac{1}{x}(-x)+C\right\\ &=x(-x+C)\\&=Cx-x^2\end{align*}
也就是说 \(z=Cx-x^2\)，将 \(z=y^{-1}\) 代入，得到
\[y=\frac{1}{Cx-x^2}\]