我们知道，初等函数在其定义域内是可导的，只有有限个或者可数个零点。所以在初等函数导数不为零的点，其构成的映射都是保形的。
1，\(w=z^2\)：如果 \(z=x+iy, w=P+iQ\)，则 \(w=x^2-y^2+2ixy\)，\[P=x^2-y^2, Q=2xy\]
所以 \(z\) 平面上的双曲线 \(x^2-y^2=\)常数被映射成 \(w\) 平面的竖直线 \(P=\)常数；\(z\) 平面上的双曲线 \(2xy=\)常数被映射成\(w\) 平面的水平线 \(Q=\)常数。这两族直线是相互垂直的，事实上它们的原像也是相互垂直的。因为
\[x^2-y^2=P\quad\Rightarrow\quad 2x-2y\frac{dy}{dx}=0\quad \Rightarrow\quad \frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}=m_1\]
\[2xy=Q\quad\Rightarrow\quad 2y+2x\frac{dy}{dx}=0\quad \Rightarrow\quad \frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x}=m_2\]
所以 \[m_1\cdot m_2=-1\]
也就是说，双曲线 \(x^2-y^2=\)常数与双曲线 \(2xy=\)常数是相互垂直的。所以 \(w=z^2\) 的映射是保角的。
注意：（1）原点处不保形，因为 \(w’=(z^2)’=2z\) 在原点处为 \(0\)，所以它在原点处不保形；
（2）\(z\) 的上半平面与 \(w\) 平面是单叶的（正实轴\(P>0,Q=0\) 除外），这在以前学习幂函数的时候就有的结果；
（3）一般的幂函数 \(w=z^n\) 将 \(z\) 平面上的角形区域 \(0\le \theta<\frac{2\pi}{n}\) 映射为 \(w\) 全平面，所以在此角形区域内是保形的；
（4）幂函数的反函数：根式函数 \(w=z^{\frac{1}{n}}\) 的变换，只需要将 \(w=z^n\) 的映射换个方向就得到，这时候，\(w=z^{\frac{1}{n}}\) 将 \(z\) 平面映射为 \(w\) 平面上的角形区域 \(0\le \theta<\frac{2\pi}{n}\)。
2，指数函数 \(w=e^z\)：\(z=x+iy\)，则 \(w=e^z=e^xe^{iy}\)，这直接看成 \(w\) 平面上的极坐标形式，所以，\(w\) 的模为 \(e^x\)，辐角为 \(y\)。
所以 \(z\) 平面上的直线 \(x=\)常数被映射为 \(w\) 上的圆 \(r=\)常数；\(z\) 平面上的直线 \(y=\)常数被映射为 \(w\) 上的射线 \(\theta=\)常数，很显然，射线与圆周都相互垂直，而 \(x=\)常数与 \(y=\)常数也是相互垂直的。
3，\(w=\sin z\)：因为
\begin{align*}w&=\sin(x+iy)=\sin x\cos(iy)+\sin(iy)\cos x\\ &=\sin x\frac{e^{-y}+e^y}{2}+\cos x\frac{e^{-y}-e^{y}}{2i}=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y\end{align*}
也就是 \(P=\sin x\cosh y, Q=\cos x\sinh y\)。所以
\begin{align*}y=\text{常数}&\Rightarrow\quad\sin x=\frac{P}{\cosh y}, \cos x=\frac{Q}{\sinh y}\\ &\Rightarrow\quad\sin^2x+\cos^2x=\frac{P^2}{\cosh^2y}+\frac{Q^2}{\sinh^2y}=1\end{align*}
这是一族椭圆。而
\begin{align*}x=\text{常数}&\Rightarrow\quad \cosh y=\frac{P}{\sin x}, \sinh y=\frac{Q}{\cos x}\\ &\Rightarrow\quad\cosh^2y-\sinh^2y=\frac{P^2}{\sin^2x}-\frac{Q^2}{\cos^2x}=1\end{align*}
这是一族双曲线。
因为 \(x=\)常数与 \(y=\)常数垂直，我们证明上面的两族曲线也是相互垂直的。
由\(\frac{P^2}{\cosh^2y}+\frac{Q^2}{\sinh^2y}=1\)，得到
\[\frac{dQ}{dP}=-\frac{P}{Q}\cdot\frac{\sinh^2y}{\cosh^2y}=m_1\]
由 \(\frac{P^2}{\sin^2x}-\frac{Q^2}{\cos^2x}=1\) 得到
\[\frac{dQ}{dP}=\frac{P}{Q}\cdot\frac{\cos^2x}{\sin^x}=m_2\]
在两族曲线相交的地方，\(\sin x=\frac{P}{\cosh y}, \cos x=\frac{Q}{\sinh y}\)，所以
\[\frac{\cos^2x}{\sin^x}=\frac{Q^2}{\sinh^2y}\cdot\frac{\cosh^y}{P^2}\]
代入到第二个斜率 \(m_2\) 里面去，得到
\[m_2=\frac{P}{Q}\cdot\frac{Q^2}{\sinh^2y}\cdot\frac{\cosh^y}{P^2}=\frac{Q}{P}\cdot\frac{\cosh^2y}{\sinh^2y}=-\frac{1}{m_1}\]
所以这两族曲线相互垂直。